はじめに
前回の記事では、線形写像のランクについて学びました。ランクは、線形写像によって作り出せる空間、つまり像の次元を表しています。
一方、その前の記事では、零ベクトルに移る入力全体の集合である「核」についても学びました。では、線形写像の像の次元と核の次元には、どのような関係があるのでしょうか。
実は、有限次元ベクトル空間からの線形写像では、像の次元と核の次元を足すと、定義域の次元になります。この関係を次元定理と呼びます。
この記事では、具体例から次元定理の意味を理解し、基底と線形独立性を使って、なぜこの関係が成り立つのかを考えましょう。
この記事でわかること
- 次元定理が何を表しているのか
- 像の次元と核の次元を足すと、なぜ定義域の次元になるのか
- 核の基底を使って次元定理を証明する方法
- 次元定理とランクの関係
- 次元定理から単射・全射を判定する方法
1．次元定理は何を表しているのか？
まず、3次元空間から2次元空間への線形写像を例に考えましょう。
1.1．3次元空間を平面に写す場合
次の行列を考えます。
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}
$$
この行列による線形写像は、
$$
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2
$$
$$
T
\left(
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\right)
=
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$$
です。
この写像では、入力の \(x\) 成分と \(y\) 成分はそのまま出力されますが、\(z\) 成分は出力に影響しません。
出力として任意の2次元ベクトルを作れるため、像は、
$$
\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^2
$$
となります。したがって、
$$
\dim\mathrm{Im}(T)=2
$$
です。
1.2．零ベクトルに移る方向を考える
次に、この線形写像の核を考えます。
核は、次の条件を満たすベクトル全体の集合でした。
$$
T(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}
$$
今回の写像では、
$$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\0
\end{pmatrix}
$$
なので、
$$
x=0,\quad y=0
$$
となります。
一方、\(z\) には制約がありません。したがって、核は、
$$
\begin{aligned}{}
\mathrm{Ker}(T)
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
0\\0\\z
\end{pmatrix}
\;\middle|\;
z\in\mathbb{R}
\right\}\\
&=
\mathrm{span}
\left\{
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
\right\}
\end{aligned}
$$
です。
つまり、核は \(z\) 軸に沿った1次元の空間なので、
$$
\dim\mathrm{Ker}(T)=1
$$
となります。
この関係を図で確認してみましょう。\(z\) 方向の違いは出力に影響せず、3次元の入力空間から2次元の出力空間へ写されることがわかります。
この線形写像では、定義域が3次元であり、像の次元が \(2\)、核の次元が \(1\) です。
したがって、
$$
\dim\mathrm{Im}(T)
+
\dim\mathrm{Ker}(T)
=
2+1=3
$$
となります。
つまり、像の次元と核の次元を足すと、定義域の次元に一致します。
2．次元定理とは何か？
第1章の例で確認した関係は、特定の行列だけで成り立つものではありません。
2.1．次元定理が表す関係
有限次元ベクトル空間 \(V\) と、ベクトル空間 \(W\) の間の線形写像、
$$
T:V\to W
$$
を考えます。
このとき、次の関係が成り立ちます。
$$
\dim V
=
\dim\mathrm{Ker}(T)
+
\dim\mathrm{Im}(T)
$$
これを次元定理と呼びます。
左辺は定義域の次元、右辺の第1項は核の次元、第2項は像の次元です。
次元定理は、定義域の次元が「核の次元」と「像の次元」の和に等しいことを表します。
2.2．次元定理の直感的な意味
核に含まれるベクトルは、すべて零ベクトルに移ります。そのため、核に沿った方向の違いは、出力からは区別できません。
一方、核に含まれない方向のうち、適切に選んだ独立な方向は、像の中で独立な方向を作り出します。次元定理は、この2種類の方向の数を足すと、定義域の次元になることを示しています。
ただし、定義域が単純に「核」と「像」に分かれるわけではありません。核は定義域の部分空間ですが、像は終域の部分空間だからです。
この点に注意しながら、次の章で定理を証明しましょう。
3．次元定理はなぜ成り立つのか？
次元定理を証明するために、核の基底から出発します。証明のポイントは、核の基底を定義域全体の基底に拡張し、追加した基底ベクトルの像を調べることです。
3.1．核の基底を定義域の基底に拡張する
線形写像、
$$
T:V\to W
$$
を考え、定義域の次元を、
$$
\dim V=n
$$
とします。
また、核の次元を \(k\) とし、その基底を、
$$
\boldsymbol{v}_1,
\boldsymbol{v}_2,
\ldots,
\boldsymbol{v}_k
$$
とします。
これらのベクトルは線形独立なので、基底の拡張によって、さらに \(n-k\) 本のベクトルを追加し、
$$
\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k,
\boldsymbol{v}_{k+1},\ldots,\boldsymbol{v}_n
$$
を \(V\) の基底にできます。
ここで、最初の \(k\) 本は核の基底です。したがって、
$$
T(\boldsymbol{v}_i)=\boldsymbol{0}
\quad (1\le i\le k)
$$
が成り立ちます。
残りの \(n-k\) 本が、像の次元を考えるうえで重要になります。
3.2．追加したベクトルの像が、像全体を張ることを示す
次の \(n-k\) 本のベクトルを考えます。まず、これらが像全体を張ることを示しましょう。
$$
T(\boldsymbol{v}_{k+1}),
\ldots,
T(\boldsymbol{v}_n)
$$
任意の \(\boldsymbol{y}\in\mathrm{Im}(T)\) を取ると、ある \(\boldsymbol{x}\in V\) が存在して、次のように表せます。
$$
\boldsymbol{y}=T(\boldsymbol{x})
$$
\(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_n\) は \(V\) の基底なので、\(\boldsymbol{x}\) は、
$$
\boldsymbol{x}
=
a_1\boldsymbol{v}_1+
\cdots+
a_n\boldsymbol{v}_n
$$
と表せます。
両辺に \(T\) を適用すると、線形性より、
$$
\begin{aligned}{}
T(\boldsymbol{x})
&=
a_1T(\boldsymbol{v}_1)+
\cdots+
a_nT(\boldsymbol{v}_n)
\end{aligned}
$$
となります。
ここで、最初の \(k\) 本は核に含まれるため、零ベクトルに移ります。したがって、
$$
\begin{aligned}{}
\boldsymbol{y}
&=
a_{k+1}T(\boldsymbol{v}_{k+1})+\cdots+
a_nT(\boldsymbol{v}_n)
\end{aligned}
$$
です。
つまり、像の任意のベクトルは、
$$
T(\boldsymbol{v}_{k+1}),
\ldots,
T(\boldsymbol{v}_n)
$$
の線形結合で表せます。
したがって、これらのベクトルは像全体を張ります。
3.3．追加したベクトルの像が線形独立であることを示す
次に、同じ \(n-k\) 本のベクトルが線形独立であることを示します。
次の等式が成り立つと仮定しましょう。
$$
a_{k+1}T(\boldsymbol{v}_{k+1})
+\cdots+
a_nT(\boldsymbol{v}_n)
=
\boldsymbol{0}
$$
線形性より、
$$
T\left(
a_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}
+\cdots+
a_n\boldsymbol{v}_n
\right)
=
\boldsymbol{0}
$$
となります。
したがって、
$$
\boldsymbol{u}
=
a_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}
+\cdots+
a_n\boldsymbol{v}_n
$$
とおくと、\(\boldsymbol{u}\) は核に含まれます。
核の基底は \(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k\) なので、ある係数 \(b_1,\ldots,b_k\) を使って、
$$
\boldsymbol{u}
=
b_1\boldsymbol{v}_1+
\cdots+
b_k\boldsymbol{v}_k
$$
とも表せます。
この2つの式をまとめると、
$$
\begin{aligned}{}
&b_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+
b_k\boldsymbol{v}_k-
a_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}
-\cdots-
a_n\boldsymbol{v}_n
=
\boldsymbol{0}
\end{aligned}
$$
となります。
しかし、\(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_n\) は \(V\) の基底なので、線形独立です。
したがって、すべての係数が零でなければなりません。特に、
$$
a_{k+1}=\cdots=a_n=0
$$
です。
よって、
$$
T(\boldsymbol{v}_{k+1}),
\ldots,
T(\boldsymbol{v}_n)
$$
は線形独立であることが示されました。
3.4．像の次元を求める
ここまでで、次の2つを示しました。
- 追加した \(n-k\) 本のベクトルの像は、像全体を張る。
- それらの像は、線形独立である。
したがって、
$$
T(\boldsymbol{v}_{k+1}),
\ldots,
T(\boldsymbol{v}_n)
$$
は \(\mathrm{Im}(T)\) の基底です。
その本数は \(n-k\) 本なので、
$$
\dim\mathrm{Im}(T)=n-k
$$
となります。
ここで、\(\dim V=n\)、\(\dim\mathrm{Ker}(T)=k\) だったため、
$$
\dim V
=
\dim\mathrm{Ker}(T)
+
\dim\mathrm{Im}(T)
$$
が成り立ちます。これで次元定理が証明できました。
この証明で使った基底の対応を、3次元の場合を例に図で整理しましょう。
図のように、核の基底は零ベクトルに移り、追加した基底ベクトルの像が、像の基底になります。
一般に、定義域の次元が \(n\)、核の次元が \(k\) であれば、像の基底は \(n-k\) 本になります。これが、次元定理が成り立つ理由です。
4．次元定理とランクはどうつながるのか？
次元定理は、行列のランクを使って表すこともできます。
4.1．ランクと核の次元の関係
\(m\times n\) 行列 \(A\) による線形写像、
$$
T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m
$$
$$
T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}
$$
を考えます。
前回の記事で学んだように、ランクは像の次元なので、
$$
\mathrm{rank}(A)=\dim\mathrm{Im}(T)
$$
です。
また、定義域は \(\mathbb{R}^n\) なので、その次元は \(n\) です。
したがって、次元定理は、
$$
\mathrm{rank}(A)
+
\dim\mathrm{Ker}(T)
=
n
$$
と表せます。
つまり、行列の列数は、ランクと核の次元の和に等しくなります。
4.2．具体例で確認する
次の行列を考えます。
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
$$
この行列による線形写像は、
$$
T
\left(
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\right)
=
\begin{pmatrix}
x+y\\z
\end{pmatrix}
$$
です。
出力として任意の2次元ベクトルを作れるため、
$$
\mathrm{rank}(A)=2
$$
となります。
一方、核を求めるには、
$$
\begin{cases}
x+y=0\\
z=0
\end{cases}
$$
を解きます。
\(x=t\) とおくと、\(y=-t\)、\(z=0\) なので、
$$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
t
\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix}
$$
です。
したがって、
$$
\dim\mathrm{Ker}(T)=1
$$
となります。
今回の行列は3列なので、次元定理より、
$$
\mathrm{rank}(A)
+
\dim\mathrm{Ker}(T)
=
2+1=3
$$
が成り立ちます。
このように、具体的な行列でも次元定理を確認できます。
5．次元定理から線形写像の何がわかるのか？
最後に、次元定理を使って、単射と全射の条件を考えましょう。
5.1．単射と核の次元
線形写像が単射であるとは、異なる入力が異なる出力に移ることです。
線形写像では、単射であることと、核が零ベクトルだけからなることは同値です。
$$
T\text{ が単射}
\iff
\mathrm{Ker}(T)=\{\boldsymbol{0}\}
$$
これは、核の次元が \(0\) であることと同じです。
したがって、次元定理より、
$$
\mathrm{rank}(A)=n
$$
となります。
つまり、\(m\times n\) 行列による線形写像が単射であるための必要十分条件は、ランクが列数 \(n\) に等しいことです。
5.2．全射とランク
一方、線形写像が全射であるとは、終域のすべてのベクトルに到達できることです。
$$
T\text{ が全射}
\iff
\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^m
$$
したがって、
$$
\mathrm{rank}(A)=m
$$
が全射の必要十分条件になります。
単射と全射の条件をまとめると、次のようになります。
| 性質 | 条件 |
|---|---|
| 単射 | \(\mathrm{rank}(A)=n\) |
| 全射 | \(\mathrm{rank}(A)=m\) |
| 単射かつ全射 | \(m=n=\mathrm{rank}(A)\) |
ここで、\(A\) は \(m\times n\) 行列です。
5.3．正方行列の場合
特に、\(n\times n\) 正方行列では、定義域と終域の次元が等しくなります。
そのため、
$$
\mathrm{rank}(A)=n
$$
であれば、単射と全射の両方が成り立ちます。
逆に、単射または全射のどちらかが成り立てば、ランクは \(n\) になり、もう一方も成り立ちます。
つまり、有限次元の同じ次元の空間の間では、線形写像の単射と全射は同値になります。
正方行列による線形写像では、単射であることと全射であることは同値です。この関係は、次元定理から導けます。
まとめ
今回は、次元定理について、その意味と成り立つ理由を考えました。
重要なポイントを整理します。
- 次元定理は、定義域の次元が核の次元と像の次元の和に等しいことを表す。
- 核の基底を定義域の基底に拡張すると、追加した基底ベクトルの像が、像の基底になる。
- そのため、像の次元は定義域の次元から核の次元を引いた値になる。
- 行列では、ランクと核の次元の和が列数に等しくなる。
- ランクが列数に等しければ単射、行数に等しければ全射になる。
- 正方行列では、単射と全射は同値になる。
特に重要なのは、次の関係です。
$$
\dim V
=
\dim\mathrm{Ker}(T)
+
\dim\mathrm{Im}(T)
$$
次元定理は、線形写像の核と像を、定義域の次元によって結びつける定理です。基底の拡張を使うことで、この関係が成り立つ理由を理解できます。
これまでのPart 3では、行列を線形写像として捉え、線形変換、表現行列、行列の演算、像と核、ランクについて学んできました。
今回の次元定理によって、これらの知識が一つにつながりました。行列は単なる数の表ではなく、ベクトル空間の構造を保ちながら、空間を別の空間へ写す仕組みとして理解できます。
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