内積はなぜ「成分の掛け算」で求まるのか？｜余弦定理でわかる内積の成分表示

はじめに
- この記事でわかること
1．まず2つのベクトルを考える
2．まずは成分から長さを計算する
3．同じ長さを「角度」から考えてみる
4．「成分を掛けて足す」は、どこから出てきたのか？
5．では、角度が $90^\circ$ より大きかったら？
6．$0^\circ$、$90^\circ$、$180^\circ$ ではどうなる？
7．内積の2つの式は、別々の公式ではない
まとめ

はじめに

前回の記事では、内積について $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ という式を使って、「内積とは何を計算しているのか」を考えました。

一方、高校数学では、

$$
\vec{a}
=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix},
\quad
\vec{b}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
$$

としたとき、内積を $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$ と計算することもあります。

ここで、少し不思議に感じるかもしれません。なぜ、角度を使った式が「成分同士を掛けて足す」という形になるのでしょうか？これは単なる公式として覚えるしかないのでしょうか？

実は、この式は突然登場するわけではありません。同じ長さを「成分」と「角度」の2つの方法で計算すると、自然に現れてきます。

内積の成分表示 $a_1b_1+a_2b_2$ は、突然決められた計算ルールではありません。同じ $|\vec a-\vec b|^2$ を「成分」と「角度」の2通りで計算すると、自然に導くことができます。

この記事でわかること

この記事では、次の内容の理解を目指します。

なぜ内積は「成分同士を掛けて足す」形になるのか
ベクトルの差の長さを成分から計算する方法
余弦定理を使って同じ長さを角度から計算する方法
「角度による内積」と「成分による内積」が一致する理由
内積の符号と2つのベクトルの角度の関係
内積が $0$ になることと、ベクトルが垂直であることの関係

今回は、公式を暗記するのではなく、なぜその計算になるのかを順番に考えていきます。

1．まず2つのベクトルを考える

2つのベクトル、

$$
\vec{a}
=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix},
\quad
\vec{b}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
$$

を考えます。2つのベクトルのなす角を $\theta$ とします。

ここで重要なのが、$\vec{a}-\vec{b}$ というベクトルです。2つのベクトルを同じ始点から描くと、$\vec{a}-\vec{b}$ は、$\vec{b}$ の先端から $\vec{a}$ の先端へ向かうベクトルとして見ることができます。

このベクトルの長さを2通りの方法で計算することが、今回の話のスタート地点です。

2．まずは成分から長さを計算する

$\vec{a}=(a_1,\ a_2)^T$、$\vec{b}=(b_1,\ b_2)^T$ なので、

$$
\vec{a}-\vec{b}
=
\begin{pmatrix}
a_1-b_1\\
a_2-b_2
\end{pmatrix}
$$

となります。

ベクトルの長さは、三平方の定理から、

$$
|\vec{a}-\vec{b}|^2
=
(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2
$$

です。これを展開して整理すると、

$$
|\vec{a}-\vec{b}|^2
=
a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2
-2(a_1b_1+a_2b_2)
$$

となります。

ここで、$|\vec{a}|^2=a_1^2+a_2^2$、$|\vec{b}|^2=b_1^2+b_2^2$ なので、

$$
|\vec{a}-\vec{b}|^2
=
|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2
-2(a_1b_1+a_2b_2)
$$

と書くことができます。

ここで、少し注目してほしいところがあります。まだ「内積の成分表示」を使っていません。ただ、ベクトルを成分で表して、長さを計算しただけなのに、$a_1b_1+a_2b_2$ という形が自然に出てきました。

この段階では、まだ $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$ という公式を使っていません。ベクトルの差の長さを成分から計算しただけで、$a_1b_1+a_2b_2$ という形が現れています。

3．同じ長さを「角度」から考えてみる

ここで、もう一度先ほどの図を見てみます。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を同じ始点から描くと、原点・$\vec{a}$ の先端・$\vec{b}$ の先端によって三角形ができます。この三角形の、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ に対応する2辺の間の角が $\theta$ です。また、残りの辺の長さが $|\vec{a}-\vec{b}|$ になります。

この三角形について、余弦定理を使ってみます。余弦定理は $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ という公式でした。

今回の場合、2辺の長さが $|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$、その間の角が $\theta$ で、残りの辺の長さが $|\vec{a}-\vec{b}|$ です。したがって、

$$
|\vec{a}-\vec{b}|^2
=
|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2
-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$

となります。

ここで、先ほど成分から計算した式と比べてみましょう。成分から計算すると、

$$
|\vec{a}-\vec{b}|^2
=
|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2
-2(a_1b_1+a_2b_2)
$$

でした。一方、余弦定理から計算すると、

$$
|\vec{a}-\vec{b}|^2
=
|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2
-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$

です。

どちらも計算しているのは、同じ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ です。そこで、2つの式を等しいとおき、共通する $|\vec a|^2+|\vec b|^2$ を消してから $-2$ で割ると、

$$
a_1b_1+a_2b_2
=
|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$

となります。

そして、内積は $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ と定義されているので、

$$
\vec{a}\cdot\vec{b}
=
a_1b_1+a_2b_2
$$

が得られます。

同じ $|\vec a-\vec b|^2$ を、成分から計算した式と角度から計算した式で比べる。これによって、「角度を使った内積」と「成分を掛けて足す内積」が同じものだと分かります。

▶ 余弦定理の意味を詳しく知りたい

余弦定理とは何をしている公式なのか？｜三平方の定理とのつながりで理解する

余弦定理がどのように導かれるのかを、三角形に高さを下ろす方法から丁寧に解説。三平方の定理と三角比を使って、なぜコサインが式に現れるのかを図解します。

4．「成分を掛けて足す」は、どこから出てきたのか？

ここまでの流れを整理してみます。今回考えたのは、$|\vec{a}-\vec{b}|^2$ という1つの量でした。

これを「成分」と「角度」の2通りで計算すると、

成分から： $|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2(a_1b_1+a_2b_2)$
角度から： $|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

となります。

この2つを比べることで、

$$
a_1b_1+a_2b_2
=
|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$

が出てきました。

「成分を掛けて足す」という計算は、角度を使った内積と同じ量を、座標から計算していると考えることができます。

5．では、角度が $90^\circ$ より大きかったら？

ここまでの説明では、イメージしやすくするために、鋭角の場合を中心に考えてきました。しかし、$0$ でない2つのベクトルのなす角 $\theta$ は $0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$ の範囲にあり、この範囲で余弦定理を使った導出が成り立ちます。

では、$90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ$ だったらどうでしょうか。この場合、$\cos\theta$ は負になるため、$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \lt 0$、つまり $\vec{a}\cdot\vec{b} \lt 0$ となります。

実際に角度を変えて見てみると、その変化が分かりやすくなります。

$45^\circ$ では $\cos45^\circ \gt 0$ なので、内積は正になります。一方、$90^\circ$ では $\cos90^\circ=0$ なので、内積は $0$ になります。さらに $135^\circ$ では $\cos135^\circ \lt 0$ なので、内積は負になります。

内積の符号を見ると、2つのベクトルのなす角が鋭角なのか、直角なのか、鈍角なのかを判断できます。ただし、ここでは2つのベクトルがどちらも $0$ でないものとします。