はじめに
前回の記事では、平均変化率から極限を考えることで、微分係数と導関数を求める方法を学びました。たとえば、\(f(x)=x^2\) を微分すると、導関数は \(f'(x)=2x\) になります。
では、この \(f'(x)=2x\) という式から、元の関数について何がわかるのでしょうか？
実は、導関数を調べると、グラフの接線の傾きだけでなく、関数がどこで増加し、どこで減少するのかもわかります。つまり、導関数は単なる微分の計算結果ではなく、元の関数の変化を読み取るための道具なのです。
この記事では、導関数と接線の傾きの関係を確認し、導関数の符号から関数の増加・減少を判断できる理由を理解します。
この記事でわかること
この記事では、次の内容の理解を目指します。
- 導関数が接線の傾きを表すのはなぜか？
- 導関数の符号から関数の増加・減少がわかるのはなぜか？
- 導関数を使って、グラフの変化をどう読み取るのか？
- 導関数が \(0\) になる点には、どのような意味があるのか？
- 導関数の考え方がAIの勾配降下法につながるのはなぜか？
1．導関数は接線の傾きを表している
前回の記事では、関数 \(y=f(x)\) の導関数を次のように定義しました。
$$
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
分数の部分は、\(x\) と \(x+h\) に対応するグラフ上の2点を結ぶ直線、つまり割線の傾きを表しています。ここで \(h\) を \(0\) に近づけると、2点が近づき、割線の傾きは接線の傾きに近づきます。
したがって、関数がその点で微分可能であれば、導関数 \(f'(x)\) の値は、点 \((x,f(x))\) における接線の傾きを表します。
たとえば、\(f(x)=x^2\) の導関数は \(f'(x)=2x\) です。これを使うと、接線の傾きは次のように求められます。
| \(x\) | \(f'(x)=2x\) | 接線の傾き |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(-2\) | 右下がり |
| \(0\) | \(0\) | 水平 |
| \(1\) | \(2\) | 右上がり |
| \(2\) | \(4\) | 右上がり（より急） |
この関係をグラフで確認してみましょう。
図を見ると、左側では接線が右下がりになり、原点では水平になり、右側では右上がりになっています。同じ放物線でも、接線を引く位置によって傾きが変わることがわかります。
導関数は、このような接線の傾きを、\(x\) の値に応じて教えてくれる関数なのです。
2．導関数の符号から関数の増加・減少がわかる
導関数が接線の傾きを表すなら、その値が正か負かによって、グラフの変化する方向もわかるはずです。
ここでは、グラフを左から右へ、つまり \(x\) が大きくなる方向に見ていきます。
2.1．導関数が正の場合
導関数が正の点では、接線は右上がりになります。つまり、その点の近くでは、\(x\) を少し大きくすると関数の値も大きくなる方向に変化します。
$$
f'(x) \gt 0
$$
導関数がある区間全体で正なら、その区間で関数は増加します。
2.2．導関数が負の場合
反対に、導関数が負の点では、接線は右下がりになります。つまり、その点の近くでは、\(x\) を少し大きくすると関数の値は小さくなる方向に変化します。
$$
f'(x) \lt 0
$$
導関数がある区間全体で負なら、その区間で関数は減少します。
2.3．導関数が \(0\) の場合
導関数が \(0\) の点では、接線の傾きが \(0\) になるため、接線は水平になります。
$$
f'(x)=0
$$
ただし、接線が水平になることと、関数が増加から減少、あるいは減少から増加に切り替わることは同じではありません。 この違いは、第4節で確認します。
ここまでの関係を整理すると、次のようになります。
| 導関数 | 接線の傾き | 意味 |
|---|---|---|
| \(f'(x) \gt 0\) | 正 | 増加する方向 |
| \(f'(x) \lt 0\) | 負 | 減少する方向 |
| \(f'(x)=0\) | \(0\) | 接線が水平 |
ここで重要なのは、ある区間で関数が増加・減少するかを判断するには、その区間全体で導関数の符号を調べる必要があるということです。
3．具体例：\(f(x)=x^2\) の増加・減少を調べる
それでは、実際に導関数を使って関数の増加・減少を調べてみましょう。
今回も、前回の記事で扱った次の関数を使います。
$$
f(x)=x^2
$$
この関数の導関数は、次のようになります。
$$
f'(x)=2x
$$
ここで注目したいのは、\(2x\) の符号が \(x\) の値によって変わることです。
- \(x<0\) のとき、\(f'(x)<0\)
- \(x=0\) のとき、\(f'(x)=0\)
- \(x>0\) のとき、\(f'(x)>0\)
したがって、\(x \lt 0\) の範囲では関数が減少し、\(x \gt 0\) の範囲では増加します。
この関係を表にまとめると、次のようになります。
| \(x\) の範囲 | 導関数の符号 | 関数の変化 |
|---|---|---|
| \(x \lt 0\) | 負 | 減少 |
| \(x=0\) | \(0\) | 接線が水平 |
| \(x \gt 0\) | 正 | 増加 |
図を見ると、導関数が負の範囲では元の関数が減少し、導関数が正の範囲では増加していることがわかります。
つまり、導関数のグラフが横軸より上にあるか下にあるかを調べることで、元の関数の増加・減少を読み取れるのです。
4．導関数が \(0\) でも、最大値・最小値とは限らない
先ほどの \(f(x)=x^2\) では、\(x=0\) で導関数が \(0\) になりました。そして、その点を境に関数が減少から増加へと切り替わり、\(f(0)=0\) が最小値になっています。
では、導関数が \(0\) になる点は、必ず最大値や最小値になるのでしょうか？
実は、そうとは限りません。次の関数を考えてみましょう。
$$
f(x)=x^3
$$
この関数の導関数は、次のようになります。
$$
f'(x)=3x^2
$$
\(x=0\) では \(f'(0)=0\) ですが、\(x \lt 0\) でも \(x \gt 0\) でも \(f'(x) \gt 0\) になります。
つまり、原点で接線は水平になるものの、関数はその前後で増加し続けています。
この2つの関数を比較すると、次の違いがあります。
- \(f(x)=x^2\)：原点で減少から増加へ切り替わる
- \(f(x)=x^3\)：原点の前後でも増加し続ける
このことから、導関数が \(0\) になるという条件だけでは、最大値や最小値になるかどうかを判断できないことがわかります。
最大値・最小値と導関数の関係については、第6回「関数の最大値・最小値はどう求めるのか？」で詳しく説明します。
5．導関数の考え方はAIの勾配降下法につながる
ここまで、導関数を使って関数の増加・減少を判断する方法を学びました。この考え方は、AIの学習にも使われています。
ニューラルネットワークの学習では、予測と正解のずれを表す「損失」を小さくすることが重要です。ここで、あるパラメータ \(w\) に対して、損失が \(L(w)\) という関数で表されるとします。
導関数 \(L'(w)\) を調べると、パラメータを少し変えたときに、損失がどちらへ変化するのかがわかります。
- \(L'(w) \gt 0\)：\(w\) を少し小さくする方向へ動かすと、損失が小さくなる
- \(L'(w) \lt 0\)：\(w\) を少し大きくする方向へ動かすと、損失が小さくなる
図のように、損失関数のグラフを坂道に見立てると、導関数は坂道の傾きを教えてくれます。右上がりの場所では左へ、右下がりの場所では右へ少し動くことで、損失を小さくする方向へ進めます。
このように、導関数を利用して損失が小さくなる方向を調べ、パラメータを少しずつ更新していく考え方が、勾配降下法の基本です。
ただし、実際のニューラルネットワークでは多くのパラメータが同時に変化します。そのため、1変数の導関数から、偏微分や勾配という考え方へ拡張する必要があります。
これらは、後半の「偏微分とは何か？」「勾配とは何か？」で詳しく説明します。
まとめ
今回は、導関数が何を表しているのかを、接線の傾きと関数の増加・減少から考えました。
- 導関数 \(f'(x)\) は、各点における接線の傾きを表す。
- 導関数がある区間で正なら、その区間で関数は増加する。
- 導関数がある区間で負なら、その区間で関数は減少する。
- 導関数が \(0\) になる点では接線が水平になるが、必ずしも最大値・最小値になるとは限らない。
- 導関数の符号を調べることで、元の関数のグラフの変化を読み取れる。
- 導関数から変化の方向を判断する考え方は、AIの勾配降下法にもつながる。
導関数は、単に微分の計算結果ではなく、関数がどの方向へ、どのように変化するのかを教えてくれるものです。
次回は、微分の公式がなぜ成り立つのかを考えます。和・積・商の微分を、公式の暗記ではなく、微分の定義から理解していきましょう。
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