はじめに
前回の記事では、線形写像の「像」と「核」について学びました。像は、線形写像によって到達できるベクトル全体の集合であり、行列の列ベクトルが張る空間として求められました。
では、その像がどのくらいの広がりを持つのかは、どのように調べればよいのでしょうか。
たとえば、2次元平面上のベクトルを変換したとき、出力が平面全体に広がる場合もあれば、1本の直線上に限られる場合もあります。この違いを表すのが、ランク（rank）です。
ランクとは、線形写像の像の次元です。行列によって作り出せる空間が、何次元なのかを表します。
この記事では、ランクの意味を図で理解し、列ベクトルの線形独立性との関係や、ランクから読み取れる線形写像の性質を考えましょう。
この記事でわかること
- ランクが線形写像の何を表すのか
- 像の次元とランクの関係
- 列ベクトルの線形独立性からランクを求める方法
- ランクが取り得る値と全射との関係
- ランクと核の次元がどのようにつながるのか
1．ランクは何を表しているのか？
まず、線形写像によって作り出せる空間の広がりを考えましょう。
1.1．平面が直線に移る場合
前回の記事では、次の行列を考えました。
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}
$$
この行列による線形写像を、
$$
T_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}
$$
とすると、
$$
A
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+y\\x+y
\end{pmatrix}
$$
となります。
出力されるベクトルは、必ず2つの成分が等しくなります。したがって、像は、
$$
\mathrm{Im}(T_A)
=
\mathrm{span}
\left\{
\begin{pmatrix}
1\\1
\end{pmatrix}
\right\}
$$
です。
これは、原点を通る直線 \(y=x\) を表しています。
入力は2次元平面全体から選べますが、出力は1本の直線上に限られます。つまり、この線形写像によって作り出せる空間は1次元です。
1.2．平面全体に到達できる場合
一方、次の行列を考えてみましょう。
$$
B=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
$$
これは単位行列なので、任意のベクトルに対して、
$$
B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}
$$
が成り立ちます。
したがって、出力として2次元平面上の任意のベクトルを作ることができ、像は、
$$
\mathrm{Im}(T_B)=\mathbb{R}^2
$$
となります。ここで \(T_B(\boldsymbol{x})=B\boldsymbol{x}\) です。
この線形写像によって作り出せる空間は2次元です。
この2つの線形写像では、到達できる空間の広がりが異なります。図で比較してみましょう。
左側の行列では、出力が直線上に限られるため、像は1次元です。一方、右側の単位行列では、平面全体に到達できるため、像は2次元になります。この像の次元を表すのがランクです。
2．ランクとは何か？
ここから、ランクを数学的に定義します。
2.1．ランクの定義
実数を成分とする \(m\times n\) 行列 \(A\) による線形写像を、
$$
T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m
$$
$$
T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}
$$
とします。
このとき、行列 \(A\) のランクは、像の次元として定義されます。
$$
\mathrm{rank}(A)
=
\dim\mathrm{Im}(T)
$$
ここで \(\dim\) は、ベクトル空間の次元を表します。
第1章の例では、行列 \(A\) の像は1次元の直線なので、
$$
\mathrm{rank}(A)=1
$$
です。一方、単位行列 \(B\) の像は2次元平面全体なので、
$$
\mathrm{rank}(B)=2
$$
となります。
つまり、ランクは行列の行数や列数そのものではなく、行列によって実際に作り出せる空間の次元を表しています。
2.2．ランクと列ベクトルの関係
前回の記事では、行列の像が列ベクトルの張る空間になることを学びました。
一般に、行列 \(A\) を列ベクトルで表すと、
$$
A=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{a}_1&
\boldsymbol{a}_2&
\cdots&
\boldsymbol{a}_n
\end{pmatrix}
$$
です。
任意のベクトル \(\boldsymbol{x}\) に対して、
$$
A\boldsymbol{x}
=
x_1\boldsymbol{a}_1+
x_2\boldsymbol{a}_2+
\cdots+
x_n\boldsymbol{a}_n
$$
となるため、
$$
\mathrm{Im}(T)
=
\mathrm{span}
\{\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_n\}
$$
が成り立ちます。
したがって、
$$
\mathrm{rank}(A)
=
\dim\mathrm{span}
\{\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_n\}
$$
です。
ここで重要なのは、列ベクトルの本数と、列ベクトルが張る空間の次元は必ずしも一致しないことです。
3．ランクと線形独立性はどうつながるのか？
ランクを求めるには、列ベクトルの線形独立性を調べることが重要です。
3.1．列ベクトルが線形従属な場合
次の行列を考えます。
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
2&4
\end{pmatrix}
$$
列ベクトルを、
$$
\boldsymbol{a}_1=
\begin{pmatrix}
1\\2
\end{pmatrix},
\quad
\boldsymbol{a}_2=
\begin{pmatrix}
2\\4
\end{pmatrix}
$$
とすると、
$$
\boldsymbol{a}_2=2\boldsymbol{a}_1
$$
が成り立ちます。
つまり、2つの列ベクトルは線形従属です。第2列は第1列のスカラー倍なので、新しい方向を作り出していません。
したがって、
$$
\mathrm{Im}(T_A)
=
\mathrm{span}\{\boldsymbol{a}_1\}
$$
となり、
$$
\mathrm{rank}(A)=1
$$
です。
3.2．列ベクトルが線形独立な場合
次に、次の行列を考えます。
$$
B=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1
\end{pmatrix}
$$
列ベクトルは、
$$
\boldsymbol{b}_1=
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix},
\quad
\boldsymbol{b}_2=
\begin{pmatrix}
1\\1
\end{pmatrix}
$$
です。
これらについて、
$$
s\boldsymbol{b}_1+t\boldsymbol{b}_2
=
\boldsymbol{0}
$$
を考えると、
$$
\begin{pmatrix}
s+t\\t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\0
\end{pmatrix}
$$
となります。
この式を満たすのは \(s=t=0\) の場合だけなので、2つの列ベクトルは線形独立です。
したがって、2つのベクトルは \(\mathbb{R}^2\) の基底となり、
$$
\mathrm{rank}(B)=2
$$
です。
この2つの行列では、列ベクトルの線形独立性が異なります。図で比較してみましょう。
左側では、2つの列ベクトルが同じ直線上にあり、線形従属です。そのため、列ベクトルが張る空間は1次元になります。一方、右側では、2つの列ベクトルが線形独立であり、平面全体を張るため、ランクは \(2\) になります。
この2つの例から、ランクと線形独立性の関係がわかります。重要なのは、列ベクトルが何本あるかではなく、そのうち何本が独立した方向を作り出せるかということです。
行列のランクは、列ベクトルの中から取り出せる、線形独立なベクトルの最大本数に等しくなります。
線形独立・線形従属の意味や判定方法については、以前の記事で詳しく説明しています。
4．ランクから線形写像の何がわかるのか？
ここまでで、ランクが像の次元であり、線形独立な列ベクトルの最大本数でもあることを学びました。では、ランクから線形写像のどのような性質がわかるのでしょうか。
4.1．ランクが取り得る値
\(m\times n\) 行列 \(A\) に対して、ランクは、
$$
0\le\mathrm{rank}(A)\le\min(m,n)
$$
を満たします。
なぜなら、像は \(\mathbb{R}^m\) の部分空間なので、その次元は \(m\) 以下だからです。また、像は \(n\) 本の列ベクトルが張る空間なので、その次元は \(n\) 以下でもあります。
たとえば、\(2\times3\) 行列のランクは、最大でも \(2\) です。列ベクトルが3本あっても、出力されるベクトルは2次元空間に含まれるためです。
なお、ランクが \(0\) になるのは、すべての列ベクトルが零ベクトルである場合です。このとき、行列は零行列であり、像は零ベクトルだけからなる0次元の空間になります。
4.2．ランクと全射の関係
線形写像、
$$
T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m
$$
が全射であるとは、終域 \(\mathbb{R}^m\) のすべてのベクトルに到達できることでした。
つまり、
$$
\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^m
$$
です。
したがって、
$$
\mathrm{rank}(A)=m
$$
であることと、線形写像 \(T\) が全射であることは同値です。
このように、ランクを調べることで、終域全体に到達できるかどうかを判定できます。
4.3．ランクが最大になるとはどういうことか？
\(m\times n\) 行列のランクは、最大でも \(\min(m,n)\) です。この最大値を持つ行列を、フルランクの行列と呼びます。
たとえば、\(3\times2\) 行列がランク \(2\) であれば、2本の列ベクトルは線形独立です。しかし、像の次元は2なので、3次元空間全体に到達できるわけではありません。
一方、\(2\times3\) 行列がランク \(2\) であれば、像は2次元空間全体となり、線形写像は全射です。
つまり、フルランクであることと、全射であることは必ずしも同じではありません。行列の行数と列数によって、その意味が変わります。
ランクが終域の次元に等しいとき、線形写像は全射になります。一方、フルランクというだけでは、必ずしも全射とは限りません。
5．ランクと核の次元にはどのような関係があるのか？
ランクは像の次元を表しますが、前回学んだ核の次元とはどのような関係にあるのでしょうか。
5.1．具体例から考える
第1章で考えた行列、
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}
$$
では、
$$
\mathrm{rank}(A)=1
$$
でした。
また、核は、
$$
\mathrm{Ker}(T_A)
=
\mathrm{span}
\left\{
\begin{pmatrix}
1\\-1
\end{pmatrix}
\right\}
$$
なので、
$$
\dim\mathrm{Ker}(T_A)=1
$$
です。
この例では、像の次元と核の次元を足すと、定義域の次元である \(2\) になります。
$$
1+1=2
$$
5.2．次元定理へのつながり
実は、有限次元ベクトル空間 \(V\) からの線形写像 \(T:V\to W\) では、一般に、
$$
\dim\mathrm{Im}(T)
+
\dim\mathrm{Ker}(T)
=
\dim V
$$
が成り立ちます。
これを次元定理と呼びます。
特に、\(n\) 次元空間からの行列による線形写像では、ランクが像の次元なので、
$$
\mathrm{rank}(A)
+
\dim\mathrm{Ker}(T)
=
n
$$
とも表せます。
この関係は、線形写像によって作り出せる空間の次元と、零ベクトルに移る方向の次元が、互いに結びついていることを示しています。
次回は、なぜこの関係が必ず成り立つのかを、像と核の基底を使って考えます。
まとめ
今回は、行列のランクについて、その意味と線形写像との関係を考えました。
重要なポイントを整理します。
- ランクは、線形写像の像の次元である。
- ランクは、列ベクトルが張る空間の次元に等しい。
- ランクは、列ベクトルの中から選べる線形独立なベクトルの最大本数である。
- ランクは、\(0\) 以上で、行数と列数の小さい方以下になる。
- ランクが終域の次元に等しいとき、その線形写像は全射である。
- ランクと核の次元の間には、次元定理と呼ばれる関係がある。
特に重要なのは、次の関係です。
$$
\mathrm{rank}(A)
=
\dim\mathrm{Im}(T)
$$
ランクは、行列によって作り出せる空間の次元を表します。列ベクトルの線形独立性と結びついており、線形写像がどれだけの次元の空間に到達できるかを知るための重要な指標です。
前回は、線形写像の像と核について学びました。今回は、像の次元を表すランクを理解しました。
次回は、像の次元と核の次元を結びつける「次元定理」について考えます。
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Part 3．線形写像と行列をまとめて理解する
Part 3では、線形写像を行列で表す仕組みから、行列の演算、像・核・ランク・次元定理までを学びます。線形写像と行列の関係を整理したい人は、次のまとめ記事をご覧ください。
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ランクの意味をさらに深く理解したい人には、線形写像、線形独立性、基底、次元の関係を体系的に説明している線形代数の書籍も参考になります。
特に、ランクを単なる計算手順としてではなく、像の次元や基底との関係から説明している書籍を読むと、次元定理への理解も深まります。
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