はじめに
前の記事では、法線ベクトルと内積を使って、点から直線・平面までの距離を求めました。最短距離は法線方向に測ればよく、その方向への成分を内積で取り出せることを見てきました。
では今度は、複数の点が同じ直線上にあるか、同じ平面上にあるかを調べたい場合はどうすればよいのでしょうか。
たとえば、平面上に3点 \(P,\ Q,\ R\) があるとします。この3点が一直線上に並んでいるかどうかは、図を見れば分かるかもしれません。
しかし、座標だけが与えられている場合は、計算によって判定する必要があります。ここで使えるのが行列式です。
点が同一直線上・同一平面上にあるかどうかは、「ベクトルが作る面積や体積が \(0\) になるか」と考えることで、行列式を使って判定できます。
この記事では、まず3点が同一直線上にある条件を考え、そこから4点が同一平面上にある条件へ広げていきます。
1．3点が同一直線上にあるとは？
まず、2次元平面に3点
$$
P(p_1,\ p_2),\quad Q(q_1,\ q_2),\quad R(r_1,\ r_2)
$$
があるとします。この3点が同じ直線上にあるかどうかを考えてみましょう。
点 \(P\) を基準にすると、\(P\) から \(Q\) へ向かうベクトルと、\(P\) から \(R\) へ向かうベクトルは、
$$
\overrightarrow{PQ}
=
\begin{pmatrix}
q_1-p_1\\
q_2-p_2
\end{pmatrix},
\quad
\overrightarrow{PR}
=
\begin{pmatrix}
r_1-p_1\\
r_2-p_2
\end{pmatrix}
$$
となります。
もし \(P,\ Q,\ R\) が同一直線上にあるなら、\(\overrightarrow{PQ}\) と \(\overrightarrow{PR}\) は同じ直線方向を向いています。
つまり、一方がもう一方の定数倍になり、\(\overrightarrow{PR}=t\overrightarrow{PQ}\) と表すことができます。
これは、以前の記事で見た線形従属そのものです。
2．同一直線上なら、平行四辺形の面積は \(0\) になる
ここで、行列式の図形的な意味を思い出してみましょう。
2つのベクトル
$$
\boldsymbol{a}
=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2
\end{pmatrix},
\quad
\boldsymbol{b}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix}
$$
を並べた行列
$$
A=
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{pmatrix}
$$
を考えると、\(|\det A|\) は2つのベクトルが作る平行四辺形の面積を表します。
では、2つのベクトルが同じ直線方向を向いていたらどうなるでしょうか。
2つのベクトルが平行なので、平行四辺形はぺしゃんこにつぶれます。そのため、面積は \(0\) になり、\(\det A=0\) となります。
つまり、3点 \(P,\ Q,\ R\) が同一直線上にあるかどうかは、\(\overrightarrow{PQ}\) と \(\overrightarrow{PR}\) が作る行列式を調べれば判定できます。
3点が同一直線上にある ⇔ 2本のベクトルが作る平行四辺形の面積が \(0\) ⇔ 行列式が \(0\)
3．3点が同一直線上にある条件を行列式で書く
点 \(P,\ Q,\ R\) が同一直線上にある条件を、実際に行列式で書いてみましょう。
先ほどの
$$
\overrightarrow{PQ}
=
\begin{pmatrix}
q_1-p_1\\
q_2-p_2
\end{pmatrix},
\quad
\overrightarrow{PR}
=
\begin{pmatrix}
r_1-p_1\\
r_2-p_2
\end{pmatrix}
$$
を列ベクトルとして並べると、
$$
\begin{pmatrix}
q_1-p_1 & r_1-p_1\\
q_2-p_2 & r_2-p_2
\end{pmatrix}
$$
となります。
したがって、3点 \(P,\ Q,\ R\) が同一直線上にある条件は、
$$
\det
\begin{pmatrix}
q_1-p_1 & r_1-p_1\\
q_2-p_2 & r_2-p_2
\end{pmatrix}
=0
$$
です。
2次の行列式を計算すれば、
$$
(q_1-p_1)(r_2-p_2)
–
(q_2-p_2)(r_1-p_1)
=0
$$
となります。
一見すると少し複雑な式ですが、その意味はとても単純です。「2本のベクトルが作る面積が \(0\) かどうか」を調べているだけです。
4．具体例で判定してみる
たとえば、
$$
P(1,\ 1),\quad Q(2,\ 3),\quad R(3,\ 5)
$$
という3点を考えてみましょう。
点 \(P\) を基準にすると、
$$
\overrightarrow{PQ}
=
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix},
\quad
\overrightarrow{PR}
=
\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}
$$
です。
したがって、
$$
\det
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4
\end{pmatrix}
=
1\cdot4-2\cdot2
=
0
$$
となります。
つまり、\(P,\ Q,\ R\) は同一直線上にあります。実際、\(\overrightarrow{PR}=2\overrightarrow{PQ}\) なので、2つのベクトルは同じ方向を向いています。
では、\(R\) を \(R(3,\ 4)\) に変えてみましょう。このとき、
$$
\overrightarrow{PR}
=
\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}
$$
なので、
$$
\det
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 3
\end{pmatrix}
=
3-4
=
-1
$$
となります。
行列式が \(0\) ではないため、3点は同一直線上にはありません。
5．なぜ行列式だけで判定できるのか？
ここまでの話を、線形独立・線形従属という視点から見直してみましょう。
\(\overrightarrow{PQ}\) と \(\overrightarrow{PR}\) が同じ直線方向にあるなら、一方はもう一方の定数倍で表せます。つまり、この2本のベクトルは線形従属です。
一方、2本が異なる方向を持っていれば、その2本によって平面方向へ広がることができます。この場合は線形独立です。
2次元では、\(\det A=0\) なら列ベクトルは線形従属で、\(\det A\neq0\) なら線形独立です。
つまり、
同一直線上 → 線形従属 → 面積 \(0\) → 行列式 \(0\)
という4つの見方は、すべて同じことを表しています。
6．3次元では「同一平面上」を判定できる
では、この考え方を3次元へ広げてみましょう。
3次元空間に4点
$$
P,\quad Q,\quad R,\quad S
$$
があるとします。
点 \(P\) を基準にして、\(\overrightarrow{PQ},\ \overrightarrow{PR},\ \overrightarrow{PS}\) という3本のベクトルを考えます。
もし4点 \(P,\ Q,\ R,\ S\) が同一平面上にあるなら、この3本のベクトルはすべて同じ平面の中にあります。
つまり、3本目のベクトルは残り2本の線形結合として、\(\overrightarrow{PS}=s\overrightarrow{PQ}+t\overrightarrow{PR}\) と表すことができます。
したがって、3本のベクトルは線形従属です。
7．同一平面上なら、平行六面体の体積は \(0\) になる
3次の行列式には、3本のベクトルが作る平行六面体の符号付き体積という図形的な意味があります。
3本のベクトルがそれぞれ異なる方向へ伸びていれば、立体的な平行六面体ができます。
しかし、3本すべてが同じ平面の中にあったらどうなるでしょうか。
高さが \(0\) になるので、平行六面体はぺしゃんこにつぶれます。そのため、体積は \(0\) になり、\(\det A=0\) となります。
4点が同一平面上にある ⇔ 3本のベクトルが作る平行六面体の体積が \(0\) ⇔ 行列式が \(0\)
8．4点が同一平面上にある条件を行列式で書く
具体的に座標で書いてみましょう。
$$
P(p_1,\ p_2,\ p_3),\quad
Q(q_1,\ q_2,\ q_3),\quad
R(r_1,\ r_2,\ r_3),\quad
S(s_1,\ s_2,\ s_3)
$$
とします。
点 \(P\) を基準にすると、
$$
\overrightarrow{PQ}
=
\begin{pmatrix}
q_1-p_1\\
q_2-p_2\\
q_3-p_3
\end{pmatrix},
\quad
\overrightarrow{PR}
=
\begin{pmatrix}
r_1-p_1\\
r_2-p_2\\
r_3-p_3
\end{pmatrix},
\quad
\overrightarrow{PS}
=
\begin{pmatrix}
s_1-p_1\\
s_2-p_2\\
s_3-p_3
\end{pmatrix}
$$
です。
この3本を列ベクトルとして並べると、
$$
A=
\begin{pmatrix}
q_1-p_1 & r_1-p_1 & s_1-p_1\\
q_2-p_2 & r_2-p_2 & s_2-p_2\\
q_3-p_3 & r_3-p_3 & s_3-p_3
\end{pmatrix}
$$
となります。
したがって、4点 \(P,\ Q,\ R,\ S\) が同一平面上にある条件は \(\det A=0\) です。
つまり、
$$
\det
\begin{pmatrix}
q_1-p_1 & r_1-p_1 & s_1-p_1\\
q_2-p_2 & r_2-p_2 & s_2-p_2\\
q_3-p_3 & r_3-p_3 & s_3-p_3
\end{pmatrix}
=0
$$
なら、4点は同一平面上にあります。
9．具体例で同一平面上か判定してみる
たとえば、
$$
P(0,\ 0,\ 0),\quad
Q(1,\ 0,\ 1),\quad
R(0,\ 1,\ 1),\quad
S(1,\ 1,\ 2)
$$
を考えてみましょう。
\(P\) が原点なので、
$$
\overrightarrow{PQ}
=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix},
\quad
\overrightarrow{PR}
=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\quad
\overrightarrow{PS}
=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
2
\end{pmatrix}
$$
です。
したがって、
$$
\det
\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&1\\
1&1&2
\end{pmatrix}
$$
を計算します。
ここで、\(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR}\) となっていることが分かります。
つまり、3本目のベクトルは最初の2本から作れるので、3本は線形従属です。したがって行列式は、
$$
\det
\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&1\\
1&1&2
\end{pmatrix}
=0
$$
となります。
よって、4点 \(P,\ Q,\ R,\ S\) は同一平面上にあります。
10．2次元と3次元は同じ仕組み
ここまでの内容を並べてみると、2次元と3次元で同じ構造になっていることが分かります。
2次元では、3点 \(P,\ Q,\ R\) から \(\overrightarrow{PQ},\ \overrightarrow{PR}\) という2本のベクトルを作りました。
この2本が線形従属なら平行四辺形の面積が \(0\) になり、\(\det A=0\) となるので、3点は同一直線上にあります。
一方、3次元では、4点 \(P,\ Q,\ R,\ S\) から \(\overrightarrow{PQ},\ \overrightarrow{PR},\ \overrightarrow{PS}\) という3本のベクトルを作りました。
この3本が線形従属なら平行六面体の体積が \(0\) になり、\(\det A=0\) となるので、4点は同一平面上にあります。
「同一直線上」「同一平面上」という条件は、必要な方向が増えていない、つまりベクトルが線形従属になっていることを表しています。
11．行列式が \(0\) ということの意味がつながる
ここまで来ると、「行列式が \(0\)」という条件が、いろいろな場面で登場してきた理由が見えてきます。
2本のベクトルが線形従属なら、新しい方向は増えません。そのため、平行四辺形はつぶれて面積が \(0\) になります。
3本のベクトルが線形従属なら、やはり新しい方向は増えません。そのため、平行六面体はつぶれて体積が \(0\) になります。
つまり、
線形従属 → 新しい方向が増えない → 図形がつぶれる → 面積・体積が \(0\) → 行列式が \(0\)
という一連の流れがあります。
これは、以前の記事で見た「行列式が \(0\) なら逆行列が存在しない」という話ともつながっています。
行列式が \(0\) というのは、単に計算結果が \(0\) になったというだけではありません。本来あるはずの次元方向への広がりが失われていることを表しているわけです。
12．実はもっと高い次元でも同じ
この考え方は、2次元や3次元だけのものではありません。
\(n\) 次元空間で \(n\) 本のベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\ \boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) を並べた行列
$$
A=
\begin{pmatrix}
| & | & & |\\
\boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{a}_n\\
| & | & & |
\end{pmatrix}
$$
を考えます。
このとき、\(\det A=0\) なら、これらのベクトルは線形従属です。
つまり、\(n\) 本あるように見えても、その中のどれかは他のベクトルから作ることができ、\(n\) 次元方向へ完全には広がっていません。
2次元で「面積が \(0\)」、3次元で「体積が \(0\)」と考えてきたものは、より高い次元では高次元の体積が \(0\)という考え方へ一般化できます。
13．結局、行列式は何を判定しているのか？
3点が同一直線上にあるか、4点が同一平面上にあるかという問題だけを見ると、行列式は便利な「判定公式」のように見えるかもしれません。
しかし、本当に行列式が調べているのは、もっと根本的なことです。それは、
「これらのベクトルは、本当に新しい方向を持っているのか？」
ということです。
新しい方向を持っていれば、2次元では面積が生まれ、3次元では体積が生まれます。一方、新しい方向を持っていなければ図形はつぶれ、\(\det A=0\) となります。
行列式が \(0\) かどうかを見ることは、「ベクトルが新しい方向を作れているか」を調べることだと考えることができます。
この視点を持っておくと、「線形独立・線形従属」「基底」「逆行列」「同一直線上・同一平面上」といった話が、すべて同じ考え方からつながっていることが見えてきます。
まとめ
3点 \(P,\ Q,\ R\) が同一直線上にあるかどうかは、点 \(P\) を基準にして \(\overrightarrow{PQ},\ \overrightarrow{PR}\) という2本のベクトルを作ることで判定できます。
この2本が同じ直線方向にあれば線形従属なので、平行四辺形の面積は \(0\) になります。したがって、
$$
\det
\begin{pmatrix}
q_1-p_1 & r_1-p_1\\
q_2-p_2 & r_2-p_2
\end{pmatrix}
=0
$$
なら、3点は同一直線上にあります。
同じ考え方は3次元にも広げることができます。
4点 \(P,\ Q,\ R,\ S\) から \(\overrightarrow{PQ},\ \overrightarrow{PR},\ \overrightarrow{PS}\) という3本のベクトルを作り、その行列式が \(0\) なら、3本が作る平行六面体の体積は \(0\) です。つまり、4点は同一平面上にあります。
一見すると「同一直線上」と「同一平面上」は別の問題に見えますが、本質は同じです。
同一直線上 → 新しい2つ目の方向がない → 面積 \(0\) → 行列式 \(0\)
同一平面上 → 新しい3つ目の方向がない → 体積 \(0\) → 行列式 \(0\)
ということです。
行列式は単なる計算道具ではありません。ベクトルが空間の中で本当に新しい方向へ広がっているのかを調べる量でもあるのです。
そう感じた人には、ベクトルや行列、線形独立・線形従属を基礎から解説してくれる本もおすすめです。
コメント