基底変換とは何か？｜同じベクトルなのに座標が変わる理由

はじめに
- この記事でわかること
1．基底変換とは、ベクトルを表す基準を取り替えること
2．同じベクトルを2つの基底で表してみよう
3．新しい基底を古い基底で表すと、座標の関係が見えてくる
4．古い座標から新しい座標を求めるには？
5．基底変換は、なぜ逆向きにも戻せるのか？
6．基底変換と、ベクトルを動かす変換は違う
まとめ

はじめに

前回は、座標が「基底をそれぞれ何倍すればベクトルを表せるか」という係数の組であることを学びました。同じベクトルでも、基底を取り替えると座標が変わることも確認しました。

では、基底を取り替えたとき、座標の数字はどのような仕組みで変わるのでしょうか。数字が変わるだけで、ベクトルそのものが変わらないのはなぜでしょうか。

基底変換では、ベクトルそのものを動かすのではなく、ベクトルを表すための基準を取り替えます。その結果、同じベクトルを表す係数（座標）が変わります。

この記事では、前回と同じ平面上のベクトルを使い、基底と座標の関係を具体的に調べます。さらに、古い座標から新しい座標を求める方法と、逆向きに戻せる理由を理解します。

この記事でわかること

この記事では、次の内容の理解を目指します。

基底変換で「変わるもの」と「変わらないもの」の違い
基底を取り替えると座標が変わる仕組み
古い座標から新しい座標を求める方法
基底変換を逆向きにも行える理由
基底変換と、ベクトルそのものを動かす変換との違い

1．基底変換とは、ベクトルを表す基準を取り替えること

たとえば、ある場所への移動を「東に何歩、北に何歩」と表すことを考えます。東と北を基準にすれば、移動は2つの数字で表せます。

しかし、基準となる方向を斜めの2方向に取り替えたらどうでしょうか。同じ場所へ移動するために必要な、それぞれの方向の歩数は変わります。

ベクトル空間でも、これと同じことが起こります。基底変換とは、ベクトルを表す基底を別の基底に取り替え、それに応じて座標を表し直すことです。

ここで大切なのは、移動そのものや、表したいベクトルは変わらないという点です。変わるのは「何を基準として、何倍ずつ組み合わせるか」という表現の仕方です。

2．同じベクトルを2つの基底で表してみよう

前回と同じく、平面 $\mathbb{R}^2$ の標準基底を $E=(\boldsymbol{e}_1,\ \boldsymbol{e}_2)$ とします。標準基底の2本は、次のとおりです。

$$
\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad
\boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
$$

ベクトル $\boldsymbol{v}$ を、標準基底で次のように表します。

$$
\boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,
\quad
[\boldsymbol{v}]_E=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
$$

次に、新しい基底 $B=(\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b})$ を考えます。基底ベクトルは、次の2本です。

$$
\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad
\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
$$

この2本は線形独立で、平面全体を張るため、確かに基底です。同じ $\boldsymbol{v}$ を新しい基底で表すと、次のようになります。

$$
\boldsymbol{v}=\frac32\boldsymbol{a}+\frac12\boldsymbol{b},
\quad
[\boldsymbol{v}]_B=\begin{pmatrix}\frac32\\\frac12\end{pmatrix}
$$

つまり、標準基底では座標が $(2,\ 1)^T$ ですが、新しい基底では $(\frac32,\ \frac12)^T$ になります。2つの座標は、同じベクトルを異なる基底で表したものです。

前回は、この違いを「座標とは何か」という視点から確認しました。ここからは、なぜこれらの数字が対応するのかを、基底同士の関係から考えます。

3．新しい基底を古い基底で表すと、座標の関係が見えてくる

新しい基底 $\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b}$ を、標準基底 $\boldsymbol{e}_1,\ \boldsymbol{e}_2$ で表してみましょう。成分を見れば、次の関係が成り立ちます。

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a}&=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\\
\boldsymbol{b}&=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2
\end{aligned}
$$

新しい基底での座標を $(s,\ t)^T$ とすると、$\boldsymbol{v}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$ です。ここに、先ほどの基底の関係を代入します。

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=s(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)
+t(\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\\
&=(s+t)\boldsymbol{e}_1+(s-t)\boldsymbol{e}_2
\end{aligned}
$$

したがって、新しい基底での座標が $(s,\ t)^T$ なら、標準基底での座標は $(s+t,\ s-t)^T$ です。基底を表す式を代入するだけで、2つの座標の関係がわかりました。

$$
[\boldsymbol{v}]_B=\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}
\quad\Longrightarrow\quad
[\boldsymbol{v}]_E=\begin{pmatrix}s+t\\s-t\end{pmatrix}
$$

たとえば、$s=\frac32$、$t=\frac12$ を代入すると、標準基底での座標は $(2,\ 1)^T$ に戻ります。これは、2つの表現が同じ $\boldsymbol{v}$ を指していることの確認にもなります。

4．古い座標から新しい座標を求めるには？

今度は逆に、標準基底での座標 $(x,\ y)^T$ がわかっているとします。このとき、$\boldsymbol{v}=x\boldsymbol{e}_1+y\boldsymbol{e}_2$ を新しい基底で表すには、どのようにすればよいでしょうか。

第3章の関係から、$x=s+t$、$y=s-t$ です。2つの式を足したり引いたりすると、$s$ と $t$ が求まります。

$$
\begin{aligned}
s&=\frac{x+y}{2}\\
t&=\frac{x-y}{2}
\end{aligned}
$$

したがって、標準基底から新しい基底への座標の変換は、次のように書けます。

$$
[\boldsymbol{v}]_E=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\quad\Longrightarrow\quad
[\boldsymbol{v}]_B=\begin{pmatrix}\frac{x+y}{2}\\\frac{x-y}{2}\end{pmatrix}
$$

たとえば、$(x,\ y)^T=(2,\ 1)^T$ なら、$s=\frac32$、$t=\frac12$ です。前回求めた新しい基底での座標と一致しました。

ここで注目したいのは、座標の変換が、元の座標の足し算と定数倍だけで表せていることです。この計算を整理すると、次回に学ぶ「基底変換行列」につながります。