はじめに
前回の記事では、余弦定理が、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta
$$
という式で表される理由を、角度や方向の関係から考えました。
しかし、ここで新しい疑問が出てきます。
「この式は、いったいどうやって導かれるの？」
特に気になるのが、\(-2bc\cos\theta\) という部分です。なぜ、三平方の定理にはなかった \(\cos\theta\) が登場するのでしょうか。
今回は、三角形に高さを作り、そこに三平方の定理を使ってみます。すると、途中で自然に、\(b\cos\theta\) という長さが現れます。
この記事では、図を使いながら、
- なぜ垂線を下ろすのか
- なぜ \(b\cos\theta\) が現れるのか
- どのように余弦定理へたどり着くのか
を順番に見ていきます。
なお、今回の図では垂線の足 \(D\) が辺 \(AB\) の上にくるよう、角 \(\theta\) が鋭角の場合を考えます。余弦定理そのものは、鈍角の場合にも成り立ちます。
1．まずは三角形を用意する
辺の長さが \(a\)、\(b\)、\(c\) の三角形 \(ABC\) を考えます。角 \(\theta\) は、辺 \(b\) と辺 \(c\) の間にある角です。
つまり、
- \(AC=b\)
- \(AB=c\)
- \(BC=a\)
となっています。
このままでは、三平方の定理を直接使うことができません。なぜなら、三平方の定理は直角三角形に対して使う公式だからです。
そこで、三角形の中に直角三角形を作ってみます。
2．頂点 \(C\) から垂線を下ろす
辺 \(AB\) を底辺と考え、頂点 \(C\) から垂線を下ろします。その垂線の足を \(D\) とします。
すると、もとの三角形が、2つの直角三角形に分かれます。
- 左側の直角三角形 \(ACD\)
- 右側の直角三角形 \(BCD\)
ここで、次のように長さを置きます。
- 高さ \(CD=h\)
- 底辺の左側 \(AD=x\)
すると、底辺の右側 \(DB\) は、
$$
DB=c-x
$$
と表すことができます。
これで、三平方の定理を使う準備が整いました。
3．左側の直角三角形から、\(b\cos\theta\) が現れる
まず、左側の直角三角形 \(ACD\) に注目します。
この三角形では、
- 斜辺が \(b\)
- 角 \(A\) が \(\theta\)
- 底辺が \(x\)
です。
したがって、余弦の定義から、
$$
\cos\theta=\frac{x}{b}
$$
となります。両辺に \(b\) を掛けると、
$$
x=b\cos\theta
$$
です。
ここで、余弦定理に登場する \(\cos\theta\) が現れました。
つまり、\(\cos\theta\) は突然出てきたわけではありません。
斜めの辺 \(b\) から、底辺方向の長さ \(x\) を取り出すときに、自然に登場したのです。
4．左側の直角三角形に三平方の定理を使う
次に、同じ直角三角形 \(ACD\) に三平方の定理を使います。
斜辺は \(b\)、他の2辺は \(h\) と \(x\) なので、
$$
b^2=h^2+x^2
$$
となります。これを \(h^2\) について整理すると、
$$
h^2=b^2-x^2
$$
です。ここで、先ほど求めた、\(x=b\cos\theta\) を代入すると、
$$
h^2=b^2-(b\cos\theta)^2
$$
となります。
この式から、高さ \(h\) の平方を、辺 \(b\) と角度 \(\theta\) を使って表すことができました。
5．右側の直角三角形に三平方の定理を使う
続いて、右側の直角三角形 \(BCD\) を見てみます。
この三角形の、
- 斜辺は \(a\)
- 高さは \(h\)
- 底辺は \(c-x\)
です。
したがって、三平方の定理より、
$$
a^2=h^2+(c-x)^2
$$
となります。ここに、先ほど求めた、\(h^2=b^2-x^2\) を代入すると、
$$
a^2=b^2-x^2+(c-x)^2
$$
です。
6．式を展開すると、\(x^2\) が打ち消し合う
さらに、右辺を展開します。
$$
a^2=b^2-x^2+c^2-2cx+x^2
$$
整理すると、
$$
a^2=b^2+c^2-2cx
$$
となります。ここまでで、余弦定理の形がかなり見えてきました。
残っているのは、\(x\) を角度 \(\theta\) を使った式に戻すことです。
7．\(x=b\cos\theta\) を代入する
先ほど、左側の直角三角形から、\(x=b\cos\theta\) と求めました。これを、
$$
a^2=b^2+c^2-2cx
$$
に代入します。すると、
$$
a^2=b^2+c^2-2c(b\cos\theta)
$$
となります。整理すると、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta
$$
です。
これが、余弦定理です。
8．\(-2bc\cos\theta\) はどこから来たのか？
ここまでの流れを振り返ってみましょう。
最初から、\(-2bc\cos\theta\) という項が用意されていたわけではありません。
実際には、次のような順番で現れました。
- 三角形に垂線を下ろして、直角三角形を作る
- 左側の直角三角形から、\(x=b\cos\theta\) を求める
- 2つの直角三角形に三平方の定理を使う
- \(-x^2\) と \(+x^2\) が打ち消し合う
- 最後に \(x=b\cos\theta\) を代入する
つまり、\(-2bc\cos\theta\) は、突然現れた特別な項ではありません。まず三平方の定理から \(-2cx\) が現れ、そこに \(x=b\cos\theta\) を代入することで、
$$
−2cx=−2c(b\cos\theta)=−2bc\cos\theta
$$
となったのです。
余弦定理は、垂線を引いて直角三角形を作り、三平方の定理を組み合わせることで導くことができます。
9．なぜ高さを作るとうまくいくのか？
もとの三角形は、直角三角形ではありませんでした。そのため、三平方の定理をそのまま使うことはできません。
しかし、頂点 \(C\) から垂線を下ろすと、三角形を2つの直角三角形に分けることができます。
すると、
- 左側では、\(b\cos\theta\) という横方向の長さが求まる
- 左右の直角三角形で、三平方の定理が使える
- 2つの式を組み合わせることで、余弦定理が現れる
という流れが生まれます。
つまり、高さを作ることは、単に図を見やすくするためではありません。
直角三角形を作り、三平方の定理と三角比を使えるようにするための工夫なのです。
10．内積ともつながっている
今回の導出では、\(x=b\cos\theta\) という式が重要な役割を果たしました。
これは、辺 \(b\) のうち、底辺 \(c\) と同じ方向の成分を表しています。
一方、内積では、
$$
\vec{a}\cdot\vec{b}
=
|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
という式が登場しました。
ここでも、\(\cos\theta\) は、2つのベクトルの方向の関係を表しています。
余弦定理の導出と内積は、どちらも、長さやベクトルをある方向から見た成分に注目するという考え方でつながっています。
まとめ
余弦定理は、次のような流れで導くことができます。
- 三角形に垂線を下ろす
- 2つの直角三角形を作る
- 三角比から \(x=b\cos\theta\) を求める
- 三平方の定理を使って式を立てる
- 式を展開し、\(x^2\) を打ち消す
- \(x=b\cos\theta\) を代入する
その結果、\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta\) という余弦定理が得られます。
一見すると複雑な、\(-2bc\cos\theta\) という項も、実際には、\(x=b\cos\theta\) という横方向の長さを使って整理した結果でした。
余弦定理は、三角形に高さを作り、三平方の定理と三角比を組み合わせることで導くことができます。
完成した公式だけを見るのではなく、その公式が生まれるまでの流れを追ってみると、数学の式が少し身近に見えてきます。
さらに別の方法で余弦定理の証明を学びたい人には、余弦定理を丁寧に解説している本もおすすめです。
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