内積は「角度」で決まるはずなのに…？
前回の記事では、内積が、
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
という式で表される理由を、「影（正射影）」のイメージから解説しました。
内積は、
- ベクトルの長さ
- ベクトル同士の角度
によって決まる計算でした。
ですが実際には、内積は次のように「成分」だけでも計算できます。
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2$$
ただし、\(\vec{a}=(a_1,\ a_2),\ \vec{b}=(b_1,\ b_2)\) としています。
ここで疑問が出てきます。
「なぜ、角度で決まるはずの内積が、“成分の掛け算”だけで求まるの？」
この記事では、その理由を、
- ベクトル
- ピタゴラスの定理
- 余弦定理
を使って、図解ベースで直感的に説明していきます。
まずはベクトルを成分で表す
2つのベクトルを、
$$\vec{a}=(a_1,\ a_2),\ \vec{b}=(b_1,\ b_2)$$
とします。
このとき、ベクトル \(\vec{a} – \vec{b}\) は、
$$\vec{a} – \vec{b}=(a_1 – b_1,\ a_2 – b_2)$$
となります。
図で考えてみる
ここで、\(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{a}-\vec{b}\) を並べると、三角形を作ることができます。
この三角形を使うと、「長さ」を2通りで表せます。
まずはピタゴラスの定理で考える
ベクトルの長さは、ピタゴラスの定理から求められます。
たとえば、
$$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2$$
同じように、
$$|\vec{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2$$
です。さらに、\(\vec{a} – \vec{b}=(a_1 – b_1,\ a_2 – b_2)\) なので、
$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2$$
となります。これを展開すると、
$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 -2(a_1 b_1+a_2 b_2)$$
になります。
今度は余弦定理で考える
一方で、同じ三角形に余弦定理を使うと、「辺と角度」の関係から、長さを別の形でも表せます。
別の記事で解説しましたが、余弦定理を使うと、
$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
となります。ここで、
$$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2$$
$$|\vec{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2$$
を代入すると、
$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 – 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
になります。
2つの式を比べる
ここで、先ほどの2つの式を見比べてみます。
ピタゴラスの定理から：
$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 -2(a_1 b_1+a_2 b_2)$$
余弦定理から：
$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 – 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
左辺は同じなので、右辺も同じになります。
つまり、
$$a_1 b_1+a_2 b_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
となる。
ここで、内積の定義
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
を使うと、
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2$$
が導けます。
\(90^\circ < \theta < 180^\circ\) のときは？
ここまでは、\(0^\circ < \theta < 90^\circ\) の場合を考えていました。
ですが、角度が \(90^\circ\) を超える場合でも、余弦定理そのものは成り立っています。
このときは、
$$\cos\theta < 0$$ になるため、内積も負になります。
つまり、角度に応じて \(\cos\theta\) が正・\(0\)・負になり、内積も同じように変わるため、
- 鋭角 → 正
- 直角 → \(0\)
- 鈍角 → 負
という性質は、成分表示でもそのまま反映されているのです。
だから、成分だけで簡単に計算できる
本来、内積を求めるには、
- ベクトルの長さ
- 角度 \(\theta\)
を調べる必要があります。
ですが、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2\) を使えば、角度を直接求めなくても、成分だけで簡単に計算できます。
だから内積は、
- 数学
- 物理
- コンピュータグラフィックス
- AI
など、さまざまな分野で広く使われているのです。
つまり今回は、
- ピタゴラスの定理による表し方
- 余弦定理による表し方
という、“同じ長さを2通りで表した式”を比較することで、内積の成分表示を導いています。
まとめ
内積は、
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
という「角度」の式で定義されます。
ですが、余弦定理を使うことで、
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2$$
という「成分表示」の式に変形できます。
つまり、成分表示の公式は、ただの計算テクニックではありません。
その裏には、
- ベクトルの長さ
- 角度
- 余弦定理
という幾何学的な意味が隠れているのです。
教科書では「公式」として出てくる式も、「なぜそうなるのか？」から見ると、かなり違って見えてきます。
そう感じた人には、ベクトルや内積を基礎から解説してくれる本もおすすめです。
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