余弦定理は、どうしてあの形になるのか？
前回の記事では、余弦定理が、
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta$$
という式で表される理由を、
- 角度によるズレ
- 方向の関係
というイメージから解説しました。
ですが、ここで新しい疑問が出てきます。
「この式って、どうやって導くの？」
特に不思議なのが、
$$-2bc\cos\theta$$
の部分です。
なぜ突然 \(\cos\theta\) が出てくるのでしょうか？
この記事では、図を使いながら、
- なぜ高さを作るのか？
- なぜ \(\cos\theta\) が現れるのか？
- どうして余弦定理になるのか？
を、直感的に追っていきます。
まずは三角形を用意する
辺の長さが、
- \(a\)
- \(b\)
- \(c\)
の三角形を考えます。
角 \(\theta\) は、辺 \(b\) と辺 \(c\) の間にある角です。
ここで、辺 \(c\) を底辺にして、頂点 \(C\) から垂線を下ろしてみます。
垂線を下ろすと、直角三角形になる
頂点 \(C\) から垂線を下ろして、その足を \(D\) とします。
すると、左側に直角三角形 \(ACD\) ができます。ここで、
- 高さを \(h\)
- 左側の長さ（\(AD\)）を \(x\)
とします。すると、三角比より、
$$x=b\cos\theta$$
になります。ここで初めて、
$$\cos\theta$$
が自然に登場します。
つまり余弦定理の \(\cos\theta\) は、「底辺方向の成分」を取り出しているのです。
高さ \(h\) を求める
同じ直角三角形 \(ACD\) で、三平方の定理を使うと、
$$h^2=b^2-x^2$$
になります。さらに、
$$x=b\cos\theta$$
なので、
$$h^2=b^2-(b\cos\theta)^2$$
です。
右側の直角三角形を見る
今度は右側の直角三角形 \(BCD\) を考えます。
底辺は、
$$c−x$$
になります。
ここで、もう一度三平方の定理を使うと、
$$a^2=h^2+(c-x)^2$$
となります。
式を代入して整理する
ここに、
$$h^2=b^2-x^2$$
を代入すると、
$$a^2=b^2-x^2+(c-x)^2$$
となります。さらに展開すると、
$$a^2=b^2-x^2+c^2-2cx+x^2$$
です。ここで、
- \(-x^2\)
- \(+x^2\)
が打ち消し合うので、
$$a^2=b^2+c^2-2cx$$
になります。さらに、
$$x=b\cos\theta$$
を代入すると、
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta$$
となります。
これが余弦定理です。
つまり、余弦定理は「成分」を引いている
ここまでを見ると、
$$-2bc\cos\theta$$
は突然出てきたわけではありません。実際には、
- 辺 \(b\) の「横方向の成分」
- つまり \(b\cos\theta\)
を使って導かれていました。
つまり余弦定理は、本質的には、「斜めの辺を、横方向に分解して調整している公式」とも考えられます。
実は、内積ともつながっている
以前の記事で扱った内積は、
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
でした。ここでも、
$$\cos\theta$$
は、「相手方向への成分」を表していました。
つまり、
- 余弦定理
- 内積
- ベクトル
は、すべて「方向への分解」という考え方でつながっているのです。
まとめ
余弦定理は、ただ暗記する公式ではありません。その裏では、
- 高さを作る
- 辺を成分に分解する
- 三平方の定理を使う
という流れが使われています。
そして、その途中で自然に現れるのが、
$$\cos\theta$$
だったのです。
教科書では完成形だけを見ることが多いですが、「どうやって作られたのか？」を見ると、公式の意味がかなり違って見えてきます。
そう感じた人には、別の方法で余弦定理の証明を丁寧に解説してくれる本もおすすめです。
コメント