【高校数学】三角関数の余角・補角・負角の公式とは

　三角関数の余角・補角・負角の公式とは、\(\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right), \sin (\pi-\theta), \sin (-\theta)\) を求める公式のことです。今回は、三角関数の余角・補角・負角の公式の紹介とその証明を行います。

三角関数の余角・補角・負角の公式
三角関数の余角・補角・負角の公式の証明
最後に

三角関数の余角・補角・負角の公式

　三角関数の余角・補角・負角の公式は、次のように定義されます。

■余角の公式
\begin{align}
& \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \cos \theta \\
& \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \sin \theta \\
& \tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} \\
\end{align}

■補角の公式
\begin{align}
& \sin (\pi-\theta) = \sin \theta \\
& \cos (\pi-\theta) = – \cos \theta \\
& \tan (\pi-\theta) = – \tan \theta \\
\end{align}

■負角の公式
\begin{align}
& \sin (-\theta) = -\sin \theta \\
& \cos (-\theta) = \cos \theta \\
& \tan (-\theta) = -\tan \theta \\
\end{align}

三角関数の余角・補角・負角の公式の証明

　では、三角関数の余角・補角・負角の公式を証明していきます。

三角関数の余角の公式の証明

　次の図に示すような単位円を考えます。

　ここで、三角形 \(OAB\) と三角形 \(OPQ\) は等しいため、\(AB=PQ, OB=OQ\) となり、\(\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right), \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)\) が求められます。

\begin{align}
& AB = \sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = PQ \\
& OB = \cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = OQ \\
\end{align}

　また、上の式を用いて、\(\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)\) が次のように求められます。

\begin{align}
\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) &= \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)} \\
&= \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\
&= \frac{1}{\tan \theta} \\
\end{align}

三角関数の補角の公式の証明

　次の図に示すような単位円を考えます。

　ここで、三角形 \(OAB\) と三角形 \(OPQ\) は等しいため、\(AB=PQ, OB=-OQ\) となり、\(\sin (\pi-\theta), \cos (\pi-\theta)\) が求められます。

　補足：\(OB=-OQ\) となるのは、点 \(Q\) の \(x\) 座標がマイナスの領域にあるからです。

\begin{align}
& AB = \sin \theta = \sin (\pi-\theta) = PQ \\
& OB = \cos \theta = – \cos (\pi-\theta) = -OQ \\
\end{align}

　また、上の式を用いて、\(\tan (\pi-\theta)\) が次のように求められます。

\begin{align}
\tan (\pi-\theta) &= \frac{\sin (\pi-\theta)}{\cos (\pi-\theta)} \\
&= \frac{\sin \theta}{-\cos \theta} \\
&= -\tan \theta \\
\end{align}