今回は、「積の微分の公式」について説明します。
微分とは
まず、微分について簡単に復習しておきます。
\(y=f(x)\) という関数があったとき、\(x\) を微小な値 \(h\) だけ変化させたとき、\(y\) の変化の割合を求めるものが微分でした。
具体的には、次の式で定義されます。
\begin{align}
\frac{dy}{dx} = f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align}
\frac{dy}{dx} = f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align}
今回は、\(p(x)=f(x)g(x)\) という関数の積の微分について説明します。
積の微分の公式
積の微分の公式は、次のように定義されます。
では、積の微分の公式を導きましょう。
\begin{align}
p'(x) &= (f(x)g(x))’ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{p(x+h)-p(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
\end{align}
p'(x) &= (f(x)g(x))’ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{p(x+h)-p(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
\end{align}
ここで、分子に \(-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)\) を足し合わせます。（合計すると0になるので足しても問題ありません。）
\begin{align}
p'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h)+f(x) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right) \\
&= f'(x) \cdot \lim_{h \to 0} g(x+h)+f(x)g'(x) \\
&= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\
\end{align}
p'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h)+f(x) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right) \\
&= f'(x) \cdot \lim_{h \to 0} g(x+h)+f(x)g'(x) \\
&= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\
\end{align}
以上で、積の微分の公式 \(p'(x)=(f(x)g(x))’=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) が求められました。
最後に
今回は、「積の微分の公式」について説明しました。よく使う式なので、覚えておきましょう。
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