【高校数学】三角関数の積和公式とは

　三角関数の積和公式とは、三角関数の「積」を「和」に変換する公式のことです。今回は、三角関数の積和公式の紹介とその証明を行います。

三角関数の積和公式の定義
三角関数の積和公式の証明
最後に

三角関数の積和公式の定義

　三角関数の積和公式は、次のように定義されます。

\begin{align}
& \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta)) \\
& \sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}(\cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta)) \\
& \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta)) \\
\end{align}

三角関数の積和公式の証明

　では、三角関数の積和公式を証明していきます。

\(\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta))\) の証明

　次に示す \(\sin\) の加法定理を用います。

\begin{align}
& \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
& \sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \\
\end{align}

　この2つの式を足し合わせて、2で割ると求まります。

\begin{align}
& \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta \\
& \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta)) \\
\end{align}

\(\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}(\cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta))\) の証明

　次に示す \(\cos\) の加法定理を用います。

\begin{align}
& \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \\
& \cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\
\end{align}

　下の式から上の式を引いて、2で割ると求まります。

\begin{align}
& -\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta \\
& \Leftrightarrow \sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}(\cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta)) \\
\end{align}

\(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta))\) の証明

　先ほどと同様に、\(\cos\) の加法定理を用います。2つの式を足して、2で割ると求まります。

\begin{align}
& \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \\
& \Leftrightarrow \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta)) \\
\end{align}