『数学ガール』を読み終えたので、感想と勉強メモを紹介します。
『数学ガール』のおすすめポイントと目次
おすすめ度：
プロローグ
第1章 数列とパターン
第2章 数式という名のラブレター
第3章 ωのワルツ
第4章 フィボナッチ数列と母関数
第5章 相加相乗平均の関係
第6章 ミルカさんの隣で
第7章 コンボリューション
第8章 ハーモニック・ナンバー
第9章 テイラー展開とバーゼル問題
第10章 分割数
エピローグ
あとがき
参考文献と読書案内
『数学ガール』の感想
基本的なものから難しいものまで幅広く学べる数学本です。
「素数」や「絶対値」などの基本的なものから、「フィボナッチ数列」や「無限級数」、「テイラー展開」や「母関数」といった難しいものまで、幅広い数学がわかりやすく紹介されていたので、興味の幅が広がりました。
特に、「フィボナッチ数列」や「無限級数」、「テイラー展開」は理解が深まったので、他の数学本も読んで、もっと深く学びたくなりました。
もちろん、それ以外の内容にも興味が持てたので、数学をもっと勉強したくなりました。
基本的なものから難しいものまで、幅広く学べる数学本に興味がある方におすすめの本です。
『数学ガール』の勉強メモ
第2章 数式という名のラブレター
素数に \(1\) を含めないのは、素因数分解の一意性のためです。\(1\) を素数に含めた場合、たとえば \(24\) を素因数分解すると、
$$
2 \times 2 \times 2 \times 3 \\
1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \\
1 \times 1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \\
\vdots
$$
というように複数作れてしまい、一意性が崩れるからです。
第3章 ωのワルツ
ド・モアブルの定理
\( \hspace{1.0em} (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n \theta + i \sin n \theta \)
複素数 \(\cos \theta + i \sin \theta\) を \(n\) 乘すると、複素数 \(\cos n \theta + i \sin n \theta\) になるという定理です。
図形的な視点で見ると、単位円上で \(\theta\) の回転を \(n\) 回繰り返すのは、\(n \theta\) の回転に等しいという主張になります。
ちなみに、\(n=2\) とすると、
\begin{eqnarray}
(\cos \theta + i \sin \theta)^2 &=& \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta \\
\cos^2 \theta + i \cdot 2 \cos \theta \sin \theta – \sin^2 \theta &=& \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta \\
(\cos^2 \theta – \sin^2 \theta) + i \cdot 2 \cos \theta \sin \theta &=& \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta \\
\end{eqnarray}
となり、実部と虚部をそれぞれ等号で結ぶと、倍角公式が求められます。
倍角公式
\( \hspace{1.0em} \cos^2 \theta – \sin^2 \theta = \cos 2 \theta \)
\( \hspace{1.7em} 2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2 \theta \)
第6章 ミルカさんの隣で
連続的な世界の微分と、離散的な世界の微分を対応づけるには、離散的な世界の微分を下降階乗冪にする必要があります。
連続的な世界の微分
\( \hspace{1.0em} Df(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x+0)}{(x+h) – (x+0)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)
離散的な世界の微分
\( \hspace{1.0em} \displaystyle \Delta f(x) = \frac{f(x+1) – f(x+0)}{(x+1) – (x+0)} = f(x+1) – f(x) \)
なぜなら、たとえば \(f(x)=x^2\) で考えた場合、連続的な世界の微分 \(Dx^2=2x\) と、離散的な世界の微分 \(\Delta x^2=2x+1\) が一致しないからです。
そこで、離散的な世界の微分を下降階乗冪にします。
下降階乗冪の定義（\(n\) は正の整数）
\( \hspace{1.0em} x^\underline{n} = (x-0)(x-1) \cdots (x-(n-1)) \)
すると、
\begin{eqnarray}
\Delta x^\underline{2} &=& \Delta (x-0)(x-1) \\
&=& ((x+1)-0)((x+1)-1)-(x-0)(x-1) \\
&=& (x+1)x-x(x-1) \\
&=& 2x
\end{eqnarray}
と、連続的な世界の微分と一致しました。
ちなみに、連続的な世界で微分をしても値が変わらない \(e^x\) に、離散的な世界で対応するのは、\(2^x\) です。\(\Delta E(x)=E(x)\) から、次のように求めます。
\begin{eqnarray}
E(x+1)-E(x) &=& E(x) \\
E(x+1) &=& 2 \cdot E(x) \\
&=& 2 \cdot 2 \cdot E(x-1) \\
&=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot E(x-2) \\
&=& \cdots \\
&=& 2^{x+1} \cdot E(0) \\
\end{eqnarray}
ここで、\(e^0=1\) のため、それに合わせて \(E(0)=1\) とすると、\(E(x) = 2^x\) となります。
第8章 ハーモニック・ナンバー
連続的な世界の対数関数 \(\log_e x\) に対応する、離散的な世界の関数 \(L(x)\) を定義します。
まず、\(\log_e x\) を微分すると、\(D\log_e x = \frac{1}{x} = x^{-1}\) となることから、\(\Delta L(x)=x^\underline{-1}\) に対応させます。
ここで、\(x^\underline{4}\) を \((x-3)\) で割ると \(x^\underline{3}\) が得られることから、\(x^\underline{-1}\) は次のように求められます。
\(x^\underline{3}\) を \((x-2)\) で割ると \(x^\underline{2}\) が得られる
\(x^\underline{2}\) を \((x-1)\) で割ると \(x^\underline{1}\) が得られる
\(x^\underline{1}\) を \((x-0)\) で割ると \(x^\underline{0}\) が得られる
\(x^\underline{0}\) を \((x+1)\) で割ると \(x^\underline{-1}\) が得られる
\(x^\underline{-1}\) を \((x+2)\) で割ると \(x^\underline{-2}\) が得られる
つまり、\(\Delta L(x)=x^\underline{-1}\) は、以下になります。
$$
\Delta L(x)=\frac{1}{x+1}
$$
ここで、\(\Delta L(x)=L(x+1)-L(x)\) は、漸化式となり、\(L(1)=1\) と定義すると、次のようになります。
$$
L(x)=\sum_{k=1}^{x}\frac{1}{k}
$$
この式から、連続的な世界では、\(\frac{1}{x}\) を積分 \((\int\)) すると \(\log_e x\) が求められるように、離散的な世界では、\(\frac{1}{k}\) を和分 \((\sum\)) することで、\(L(x)\) が求められることがわかります。
つまり、連続的な世界の積分が、離散的な世界の和分に対応しているということです。
ちなみに、\(L(x)\) は調和数と呼ばれ、一般的に \(Hx\) と表されます。
第9章 テイラー展開とバーゼル問題
\(\sin x\) を以下のような冪級数に展開してみましょう。
$$
\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k
$$
まず、和分を使わずに書き下すと、
$$
\sin x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k + \cdots
$$
となり、\(x\) に \(0\) を代入すると、\(\sin 0=a_0\) となり、\(a_0=0\) と求められます。
続いて、先ほどの式を微分すると、
$$
\cos x = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots
$$
となり、\(x\) に \(0\) を代入すると、\(\cos 0=a_1\) となり、\(a_1=1\) と求められます。
さらに、微分を繰り返すと、
$$
-\sin x = 2 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 x + 4 \cdot 3 a_4 x^2 + 5 \cdot 4 a_5 x^3 + \cdots \\
-\cos x = 3 \cdot 2 a_3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 a_4 x + 5 \cdot 4 \cdot 3 a_5 x^2 + \cdots \\
\hspace{1.0em} \vdots
$$
となり、\(x\) に \(0\) を代入すると、\(a_2=0\)、\(a_3=-\frac{1}{3!}\) と求められます。
このように微分を繰り返して、それぞれの係数を求めると、\(\sin x\) は、以下の式で表すことができます。
$$
\sin x = +\frac{x^1}{1!} -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+ \cdots
$$
この冪級数展開を、\(\sin x\) のテイラー展開と言います。
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