1からnの2乗までの和(二乗和)の求め方を簡単に紹介

科学・テクノロジー

 この前のエントリで等差数列・等比数列の一般項とその和の求め方について紹介しましたが、今回は\(1\)から\(n^2\)までの和(二乗和)の求め方を『数学ガールの秘密ノート/積分を見つめて』を参考に紹介します。

 ディープラーニングなどの機械学習でもよく扱う計算式なので、ぜひ覚えておきましょう。




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 二乗和の求め方

 では早速、二乗和の求め方について簡単に紹介します。

 さきほどのエントリで「\(1\)から\(n\)までの和」は、初項が\(1\)で公差も\(1\)、\(n\)項までの等差数列の和なので、以下の式であらわせることを紹介しました。

$$\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+3+\cdots+(n-1)+n=\frac{1}{2}n(n+1)$$

 しかし、二乗和を求めるには少しテクニックが必要です。たとえば、次の展開公式を使います。

$$(n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1$$

 ここで、\(n^3\)を左辺に移行すると次のようになりますよね。

$$(n+1)^3 – n^3 = 3n^2+3n+1$$

 さらに、\(n=1,2,3,\cdots,n\)として足し合わせると、

\begin{array}{rcccccc}
&2^3 -1^3 &= &3\cdot 1^2 &+ &3\cdot 1 &+ &1 \\
&3^3 -2^3 &= &3\cdot 2^2 &+ &3\cdot 2 &+ &1 \\
&4^3 -3^3 &= &3\cdot 3^2 &+ &3\cdot 3 &+ &1 \\
&&\vdots \\
&(n+1)^3 -n^3 &= &3\cdot n^2 &+ &3\cdot n &+ &1 \\
\hline
&(n+1)^3 -1^3 &= &3\cdot \sum_{k=1}^{n} k^2 &+ &3\cdot \sum_{k=1}^{n} k &+ &\sum_{k=1}^{n} 1 \\
\end{array}

 左辺は打ち消しあって単純になり、右辺には求めたい二乗和が現れます。そこで、先ほどの式を次のように展開していくと、

\begin{align*}
(n+1)^3 -1^3 & = 3\cdot \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\cdot \sum_{k=1}^{n} k + n \\
  & = 3\cdot \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \\
\end{align*}

\begin{align*}
3\cdot \sum_{k=1}^{n} k^2 & = (n+1)^3 – 1 – 3\cdot \frac{n(n+1)}{2} – n \\
6\cdot \sum_{k=1}^{n} k^2 & = 2(n+1)^3 – 2 – 3n(n+1) – 2n \\
& = 2(n^3+3n^2+3n+1) – 2 – 3n^2 – 3n – 2n \\
& = 2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 – 2 – 3n^2 – 5n \\
& = 2n^3 + 3n^2 + n \\
& = n(2n^2 + 3n + 1) \\
& = n(n+1)(2n+1) \\
\end{align*}
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

 と求めることができました。

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 最後に

 今回は、『数学ガールの秘密ノート/積分を見つめて』を参考に、\(1\)から\(n^2\)までの和(二乗和)の求め方を簡単に紹介してきました。

 二乗和は、ディープラーニングなどの機械学習でもよく扱う計算式なので、ぜひ覚えておきましょう。

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