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 この前のエントリで合成関数の微分について紹介しましたが、今回は積と商の微分について紹介します。

 積と商の微分は、たとえば、「\(p(x)=f(x) \times g(x)\)」や「\(r(x)=f(x) \div g(x)\)」などのように、2つ以上の関数の掛け算や割り算で成り立っている関数を微分するときに役立つ計算テクニックです。

 掛け算や割り算の微分ができると幅が広がりますよ。

 積の微分

 では早速、積の微分から紹介していきます。\(p(x)=f(x) \times g(x)\)のとき、\(f(x)\)と\(g(x)\)をそれぞれ微分すると、

$$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ $$g'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

 になります。これを用いて\(p'(x)\)を計算すると、

\begin{align*} p'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{p(x+h)-p(x)}{h} \\  & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\  & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\  & = \lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h} \\  & = \lim_{h \to 0} \{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\} \\  & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align*}

 と求めることが出来ました。ちなみに、\(g(x+h)\)は\(h \to 0\)で\(g(x)\)になります。

 では、ここで簡単な例題を解いてみましょう。

\begin{align*} \{(x^2+x+1)(x^3+1)\}’ & = (x^2+x+1)'(x^3+1)+(x^2+x+1)(x^3+1)’ \\   & = (2x+1)(x^3+1)+(x^2+x+1)3x^2 \\   & = 2x^4+2x+x^3+1+3x^4+3x^3+3x^2 \\   & = 5x^4+4x^3+3x^2+2x+1 \\ \end{align*}

 式を展開しなくても解けましたね。

 商の微分

 では次に、商の微分について紹介していきます。\(r(x)=f(x) \div g(x)\)のとき、\(f(x)=r(x)g(x)\)と展開して先ほど紹介した積の微分を使うと、

$$f'(x)=r'(x)g(x)+r(x)g'(x)$$

 となります。これを\(r'(x)\)について解いていくと、

\begin{align*} r'(x) & = \frac{f'(x)-r(x)g'(x)}{g(x)} \\ & = \frac{1}{g(x)}\{f'(x)-\frac{f(x)}{g(x)}g'(x)\} \\ & = \frac{1}{g(x)}\{\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)}\} \\ & = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\ \end{align*}

 と求めることができました。

 では、ここで簡単な例題を解いてみましょう。

\begin{align*} (\frac{x+1}{x^2+1})’ & = \frac{(x+1)'(x^2+1)-(x+1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} \\ & = \frac{(x^2+1)-(x+1)2x}{(x^2+1)^2} \\ & = \frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2} \\ & = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2} \\ \end{align*}

 また、商の微分の公式を使うと、\(-n\)乗の微分を求めることができます。

\begin{align*} (x^{-n})’=(\frac{1}{x^n})’ & = \frac{(1)'(x^n)-1\cdot(x^n)’}{(x^n)^2} \\ & = \frac{0\cdot(x^n)-1\cdot nx^{n-1}}{x^{2n}} \\ & = \frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}} \\ & = -nx^{n-1-2n} \\ & = -nx^{-n-1} \\ \end{align*}

 今後、いろいろ役立ちそうですね。

 最後に

 今回は、積と商の微分の計算方法について紹介してきました。

 積と商の微分は複雑な微分を計算するときに役立つので、ぜひ覚えておきましょう。

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