積と商の微分について簡単に紹介

この前のエントリで合成関数の微分について紹介しましたが、今回は積と商の微分について紹介します。

この前のエントリで微分の公式について紹介しましたが、今回は合成関数の微分について紹介します。合成関数の微分とは、たとえば、$h(x)=(x^2+3)^6$などのように、2つ以上の関数の合成で成り立っている関数を微...

積と商の微分とは、たとえば、「$p(x)=f(x) \times g(x)$」や「$r(x)=f(x) \div g(x)$」などのように、2つ以上の関数の掛け算や割り算で成り立っている関数を微分するときに役立つ計算テクニックです。

掛け算や割り算の微分ができると対応できる関数の幅が広がりますよ。

積の微分のやり方
商の微分のやり方
まとめ

積の微分のやり方

では早速、積の微分から説明します。

$p(x)=f(x) \times g(x)$のとき、$f(x)$と$g(x)$をそれぞれ微分すると、

$$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$g'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

になります。これを用いて$p'(x)$を計算すると、

\begin{align*}
p'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{p(x+h)-p(x)}{h} \\
　& = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
　& = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
　& = \lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h} \\
　& = \lim_{h \to 0} \{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\} \\
　& = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\end{align*}

と求めることが出来ました。ちなみに、$g(x+h)$は$h \to 0$で$g(x)$になります。

では、ここで簡単な例題を解いてみましょう。

\begin{align*}
\{(x^2+x+1)(x^3+1)\}’ & = (x^2+x+1)'(x^3+1)+(x^2+x+1)(x^3+1)’ \\
　 & = (2x+1)(x^3+1)+(x^2+x+1)3x^2 \\
　 & = 2x^4+2x+x^3+1+3x^4+3x^3+3x^2 \\
　 & = 5x^4+4x^3+3x^2+2x+1 \\
\end{align*}

式を展開しなくても積の微分が解けましたね。

商の微分のやり方

では次に、商の微分について説明します。

$r(x)=f(x) \div g(x)$のとき、$f(x)=r(x)g(x)$と展開して先ほど紹介した積の微分を使うと、

$$f'(x)=r'(x)g(x)+r(x)g'(x)$$

となります。これを$r'(x)$について解いていくと、

\begin{align*}
r'(x) & = \frac{f'(x)-r(x)g'(x)}{g(x)} \\
& = \frac{1}{g(x)}\{f'(x)-\frac{f(x)}{g(x)}g'(x)\} \\
& = \frac{1}{g(x)}\{\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)}\} \\
& = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\
\end{align*}

と求めることができました。

では、こちらも簡単な例題を解いてみましょう。

\begin{align*}
(\frac{x+1}{x^2+1})’ & = \frac{(x+1)'(x^2+1)-(x+1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} \\
& = \frac{(x^2+1)-(x+1)2x}{(x^2+1)^2} \\
& = \frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2} \\
& = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2} \\
\end{align*}

また、商の微分の公式を使うと、$-n$乗の微分を求めることができます。

\begin{align*}
(x^{-n})’=(\frac{1}{x^n})’ & = \frac{(1)'(x^n)-1\cdot(x^n)’}{(x^n)^2} \\
& = \frac{0\cdot(x^n)-1\cdot nx^{n-1}}{x^{2n}} \\
& = \frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}} \\
& = -nx^{n-1-2n} \\
& = -nx^{-n-1} \\
\end{align*}