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(※『数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて』表紙より)


 微分とは何か説明できますか?

 結論からいえば、「瞬間の変化率」を求めることです。

 たとえば、ある時刻における新幹線の瞬間速度を捉えるために微分を求める。または、ある動画における画素の輝度変化を捉えるために微分を求める。

 このように、微分は瞬間の変化率を捉えるために使うもの。数式をみると複雑そうにも思えますが、内容が理解できればとても便利なツールです。

 そこで今回は、『数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて』を参考に、微分の基礎を説明したいと思います。

 『数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて』ってどんな本?

 中学生レベルの数学がわかれば読める数学書です。初学者にもわかりやく説明しているだけでなく、少し難しいレベルまで引き上げてくれる本です。

 たとえば、本書では、

 第1章 位置の変化
 第2章 速度の変化

 で微分の基礎が理解でき、

 第3章 パスカルの三角形
 第4章 位置と速度と加速度と
 第5章 割り算と掛け算のバトル

 でパスカルの三角形、三角関数、複利計算などへの微分の応用が学べます。

 これらは微分には関係がなさそうな問題ですが、それらが微分につながっていく過程が面白くて仕方ないんですよね。

 微分をまったく知らない人でも楽しく読める本です。

 微分って何?

 先ほども紹介したように、微分は「瞬間の変化率」を捉えるものです。

 たとえば、新幹線のある時刻における瞬間速度を求めたい場合、式は以下のようになります。

 速度(\(v\)) = 位置の変化(\(x\)) / 時刻の変化(\(t\))

 小学校で習った「おはじき」がわかれば簡単ですよね。ここで、「位置」は「\(t^2\)」に従って変化するとし(時刻の2乗に従って変化するとし)、「時刻」は\(t\)から\(t+h\)まで変化するとした場合、先ほどの式は以下のようになります。

\begin{align*} v & = \frac{(t+h)^2-t^2}{(t+h)-t} \\ & = \frac{t^2+2th+h^2-t^2}{t+h-t} \\ & = \frac{2th+h^2}{h} \\ & = 2t+h \\ \end{align*}

 さて、瞬間の変化を捉えたいということは、時刻の変化量\(h\)を極力\(0\)に近づけたいということ。そこで先ほどの計算結果「\(2t+h\)」の\(h\)に\(0\)を代入すると「\(2t\)」が求まります。これが時刻\(t\)における瞬間速度です。

 つまり、「\(t^2\)」を\(t\)で微分すると「\(2t\)」になるということ。微分の公式「\(x^n\)」を\(x\)で微分すると「\(nx^{n-1}\)」(\(n\)を係数に下して、指数を\(-1\)する)と同じ結果が導けました。ちなみに、関数\(x\)の微分は\(1\)、\(x^2\)の微分は\(2x\)、\(x^3\)の微分は\(3x^2\)です。

 では、念のため、もうひとつ問題を出します。関数\(x^4\)を\(x\)で微分したらどうなるでしょうか。

 公式を使って計算すると、\(4x^3\)になることがわかります(4を係数に下して、指数を−1する)。また、先ほどと同様に変化率を考えて計算すると、

\begin{align*} (x^4)’ & = \frac{(x+h)^4-x^4}{(x+h)-x} \\ & = \frac{1}{h}\{(x+h)^4-x^4\} \\ & = \frac{1}{h}(x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4-x^4) \\ & = \frac{1}{h}(4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4) \\ & = 4x^3+h(6x^2+4xh+h^2) \\ \end{align*}

 ここで\(h\)に\(0\)を代入すると「\(4x^3\)」が求まります。公式を使って計算した結果と同じになりましたね。このようにして求めた微分は\(x\)の「瞬間の変化率」になります。

 最後に

 今回は、『数学ガールの秘密ノート 微分を追いかけて』を参考に、微分の基礎について説明してきました。微分とは「瞬間の変化率」を求めるためのツールで速度や加速度を求めるときに役立ちます。

 より詳しい内容が知りたい方は、ぜひ本書を読んでみてください。また、本書に載っていた参考文献もあわせて紹介しておきます。気になった方は、こちらもあわせてどうぞ。

参考文献

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