ベイズ推定を理解する第一歩!?確率の「4つの基本」を理解しよう

科学・テクノロジー

 ディープラーニングなどの機械学習を勉強していると、ベイズ推定に出会うことがありますよね。

 ところが、「尤度」や「事前確率」、「事後確率」といった名称に踊らされて必要以上に難しく感じてしまうかもしれません。

 そこでまずは、ベイズ推定を理解するためにも、確率の「4つの基本」を理解してはどうでしょうか。ベイズ推定が身近なものに感じられるかもしれませんよ。




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 確率の「4つの基本」とは?

 確率の「4つの基本」とは、「同時確率」「条件付き確率」「乗法定理」「加法定理」の4つのことです。

 どれも難しそうな名前がついていますが、簡単なので理解していきましょう。

「同時確率」と「条件付き確率」

 いきなりですが、次の問題を解いてください。

ジョーカーを除く1組のトランプから無作為に1枚を引いたとき、
①引いたカードがハートで、かつ絵札である確率は?
②引いたカードがハートであったときに、それが絵札である確率は?

 実は、この①が「同時確率」で、②が「条件付き確率」です。

 ①は「ハートを引く」と「絵札を引く」という2つの事象が同時に発生する確率で、②は、「ハートを引く」という条件が起こったときに「絵札を引く」確率のことです。

 名前の通りですね。

 さて、それぞれ計算してみると、トランプはジョーカーを除いているので、\(13 \times 4=52\)枚あります。そこで、①の確率は\(\frac{3}{52}\)になります。

 一方の②は、ハートは13枚で絵札は3枚のため、\(\frac{3}{13}\)になりますよね。

 これが「同時確率」と「条件付き確率」です。簡単ですね。

「乗法定理」

 乗法定理とは、「同時に起こる確率は、各々の確率の積になる」というものです。先ほどの①の問題を再び考えてみると、

ジョーカーを除く1組のトランプから無作為に1枚を引いたとき、
①引いたカードがハートで、かつ絵札である確率は?

 この問題を「1組のトランプからハートを選ぶ確率」と「ハートだったときに絵札を選ぶ確率(=先ほどの②の問題)」に分けて考えると、

$$\frac{13}{52}\times\frac{3}{13}=\frac{3}{52}$$

 と先ほどと同じ答えが導けますよね。これが「乗法定理」です。

 つまり、

AとBの同時確率 = Aが起こる確率 × Aが起こったときにBが起こる条件付き確率

 で求めることができるのです。ベイズの理論では、計算しやすいように以下のように順番を並べ替えます。

AとBの同時確率 = Aが起こったときにBが起こる条件付き確率 × Aが起こる確率

「加法定理」

 加法定理は、条件がいくつかに分けられた場合の確率計算に役立つ定理です。たとえば、次の問題を解いてみましょう。

ジョーカーを除く1組のトランプから無作為に1枚を引いたとき、
引いたカードがハートか、または絵札である確率は?

 「ハートを引く」と「絵札を引く」という別の事象が発生する確率を求める問題ですね。このとき、それぞれの確率を求めて、同時確率を除きます。

$$\frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52}=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}$$

 ただし、実際のベイズの定理では、同時確率は0になるのが一般的(=排反という)なので、

AまたはBが起こる確率 = Aが起こる確率 + Bが起こる確率

 と簡単に求めることができます。

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 最後に

 今回は、確率の「4つの基本」を紹介してきました。ベイズ推定を理解するためにも、この機会に習得しておきましょう。

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