行列式で求めているのは体積の拡大率!?行列式について簡単に紹介

科学・テクノロジー

 逆行列を求めるには「行列式」を理解しておく必要がありますが、行列式と聞いてもあまりイメージが湧きませんよね。

 しかし、行列式を体積の拡大率と考えるとイメージしやすくなります。

 そこで今回は、「行列式」の意味と有用な性質について簡単に紹介していきます。




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 「行列式」とは?

 行列\(A\)の行列式は\(\mathrm{det}A\)などと表され、たとえば次の2次元行列の場合、

$$A=\begin{pmatrix}
1.5 & 0 \\
0 & 0.5 \\
\end{pmatrix}
$$

 ある二次元の図形にこの行列\(A\)をかけると、元の図形が横\(1.5\)倍、縦\(0.5\)倍に拡大されるので、面積は\(1.5\times0.5=0.75\)倍になります。

 つまり、行列式で求めるのが面積の拡大率と考えると、\(\mathrm{det}A=0.75\)になります。

 これが3次元になれば体積の拡大率になるのは簡単に想像できますよね。

 たとえば、次の3次元行列\(B\)の行列式\(\mathrm{det}B\)は、

$$B=\begin{pmatrix}
1.5 & 0 & 0 \\
0 & 0.5 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$

 \(\mathrm{det}B=1.5\times0.5\times1=0.75\)と、体積の拡大率が\(0.75\)倍になることがわかります。

 では、次の行列の場合はどうでしょうか。

$$C=\begin{pmatrix}
0 & 9 & 4 \\
0 & 5 & 3 \\
0 & 1 & 8 \\
\end{pmatrix}
$$

$$D=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 4 \\
7 & 7 & 3 \\
6 & 6 & 8 \\
\end{pmatrix}
$$

 行列\(C\)は1列目がすべて\(0\)なので、この前に紹介した基底\(e_1=(1,0,0)^T\)が\(o=(0,0,0)^T\)に移ってしまい、\(\mathrm{det}C=0\)になります。

 同様に、行列\(D\)も、1列目と2列目が同じ値なので、基底\(e_1=(1,0,0)^T\)と基底\(e_2=(0,1,0)^T\)が同じ点\((2,7,6)^T\)に移ってしまうので、立方体がぺちゃんこに潰れてしまい、\(\mathrm{det}D=0\)になります。

 このように、行列式は「どこかの列がすべて\(0\)の場合」または「どこかの2列が同じ値の場合」に、\(0\)になります。

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 行列式の有用な性質①

 では、行列式を計算するときに有用な性質を紹介します。

 まず一つ目は、「ある列の定数倍を別の列に加えても値が変わらない」というものです。これは、重ねたトランプを平行にずらしても体積が変わらないことをイメージするとわかりやすいかもしれません。

$$\mathrm{det}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 7 \\
1 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix}
=
\mathrm{det}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 5+1\cdot10 \\
1 & 2 & 7+2\cdot10 \\
1 & 3 & 6+3\cdot10 \\
\end{pmatrix}
=
\mathrm{det}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 15 \\
1 & 2 & 27 \\
1 & 3 & 36 \\
\end{pmatrix}
$$

 この性質を利用すると、上三角行列\(A\)と下三角行列\(B\)の行列式はともに対角成分だけになることがわかります。

$$\mathrm{det}A=
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33} \\
\end{pmatrix}
=a_{11}a_{22}a_{33}
$$

$$\mathrm{det}B=
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
b_{11} & 0 & 0 \\
b_{21} & b_{22} & 0 \\
b_{31} & b_{32} & b_{33} \\
\end{pmatrix}
=b_{11}b_{22}b_{33}
$$

 具体例で考えると、

$$\mathrm{det}B=
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 5 \\
0 & 2 & 6 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
=
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 4-1\cdot4 & 5-1\cdot5 \\
0 & 2-0\cdot4 & 6-0\cdot5 \\
0 & 0-0\cdot4 & 3-0\cdot5 \\
\end{pmatrix}
$$

$$ =
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 6 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
=
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0-0\cdot3 \\
0 & 2 & 6-2\cdot3 \\
0 & 0 & 3-0\cdot3 \\
\end{pmatrix}
$$

$$ =
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
=1\cdot2\cdot3=6
$$

 と対角成分の積で求めることができましたね。下三角行列についても同じです。

 また、転置行列の行列式は、元の行列の行列式と同じ値になります。

$$\mathrm{det}(A^T)=\mathrm{det}A$$

 つまり行列式は、行と列の役割をいっせいに入れ替えても成立するのです。

 たとえば、「ある行の定数倍を別の行に足しても行列式の値は変わらない」ことが言えるんですよね。

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 行列式の有用な性質②

 では、次に行列式の2つ目の有用な性質を紹介します。それは次に示す多重線形性と言われるものです。

$$\mathrm{det}(ca_1,a_2,\cdots,a_n)=c\mathrm{det}(a_1,a_2,\cdots,a_n)$$

$$\mathrm{det}(a_1+a’_1,a_2,\cdots,a_n)=\mathrm{det}(a_1,a_2,\cdots,a_n)+\mathrm{det}(a’_1,a_2,\cdots,a_n)$$

 行列式が体積(の\(n\)次元版)だとわかっていれば、この多重線形性も理解できますよね。

 具体例で考えると、

$$
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 10 & 5 \\
1 & 20 & 7 \\
1 & 30 & 6 \\
\end{pmatrix}
=
10
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 7 \\
1 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix}
$$

$$
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 7 \\
1 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix}
+
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 5 \\
1 & 7 & 7 \\
1 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}
=
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 1+1 & 5 \\
1 & 2+7 & 7 \\
1 & 3+1 & 6 \\
\end{pmatrix}
$$

$$
=
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
1 & 9 & 7 \\
1 & 4 & 6 \\
\end{pmatrix}
$$

 となります。

 また、2つの列を入れ替えると符号が反転するのも有用な性質のひとつです。立方体で考えたときに、2つの辺を入れ替えると「右手系」から「左手系」に変わるようなものです。

$$\mathrm{det}(a_2,a_1,a_3,\cdots,a_n)=-\mathrm{det}(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)$$

 具体例で考えると、

$$
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 7 \\
1 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix}
=
-\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 5 \\
2 & 1 & 7 \\
3 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}
$$

 となります。

 具体例を解いてみよう

 まずは、次の式が成り立つことを理解してください。

$$
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
=
a_{11}\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
$$

 基底\(e_1=(1,0,0)^T\)に関わる成分が\(a_{11}\)だけなので、\(a_{11}\)を前に出して掛け合わせることができます。

 では早速、次の例題を解いていきましょう。

$$
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & 2 \\
6 & 6 & 10 & 7 \\
2 & 7 & 6 & 6 \\
4 & 5 & 10 & 9 \\
\end{pmatrix}
$$

$$
=
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & 2 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 6 & 3 & 4 \\
0 & 3 & 4 & 5 \\
\end{pmatrix}
$$

$$
=
2\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
6 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 \\
\end{pmatrix}
$$

$$
=
2\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$

$$
=
2\cdot3
\mathrm{det}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$

$$
=2\cdot3\cdot(1\cdot4-2\cdot3)=-12
$$

 と求めることができました。

 最後に

 今回は、「行列式」の意味と有用な性質について簡単に紹介してきました。

 具体的な計算方法については詳しく紹介していませんが、まずは行列式のイメージだけでも掴んでみてはどうでしょうか。

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