「理由不十分の原則」と「ベイズ更新」を簡単に紹介

科学・テクノロジー

 前回、「ベイズの定理」を紹介しましたが、今回はベイズの定理を実際に応用するときに役立つ「理由不十分の原則」と「ベイズ更新」について紹介します。

 機械学習や情報のフィルタリング、経営判断のための意思決定などに役立つので、ぜひ覚えておきましょう。




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 「理由不十分の原則」とは?

 では、まずは「理由不十分の原則」について紹介します。早速、例題に挑戦してみましょう。

赤玉と白玉が合わせて3個入っている箱1, 箱2, 箱3があります。箱1には赤玉が1個、箱2には赤玉が2個、箱3には赤玉が3個入っています。これら3つの箱の中から玉を1つ取り出したところ、赤玉でした。赤玉が箱3から取り出された確率を求めましょう。

 ここでベイズの定理を適応すると、データDは「取り出された玉が赤」、仮定Hは「箱1から取り出された場合」「箱2から取り出された場合」「箱3から取り出された場合」の3つが考えられますよね。

 例題にもなっている「赤玉が箱3から取り出された確率」を考えると、

$$\mbox{赤玉が箱3から取り出された確率}\\
= \frac{\mbox{箱3において赤玉が取り出される確率} × \mbox{箱3が選ばれる確率}}{\mbox{赤玉が取り出された確率}}$$

 ここで、「赤玉が取り出された確率」は、「箱1で赤玉が取り出された確率」と「箱2で赤玉が取り出された確率」、「箱3で赤玉が取り出された確率」の和になるため、

$$\mbox{箱が選ばれる確率は何も書かれていないので}\frac{1}{3}\mbox{と決めると、}\\
\mbox{箱1で赤玉が取り出された確率}\\
=\mbox{箱1において赤玉が取り出される確率}\times\mbox{箱1が選ばれる確率}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\\
\mbox{箱2で赤玉が取り出された確率}\\
=\mbox{箱2において赤玉が取り出される確率}\times\mbox{箱2が選ばれる確率}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\\
\mbox{箱3で赤玉が取り出された確率}\\
=\mbox{箱3において赤玉が取り出される確率}\times\mbox{箱3が選ばれる確率}=\frac{3}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{3}{9}
$$

 そのため、「赤玉が取り出された確率」は、

$$\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$

 となります。その結果、「赤玉が箱3から取り出された確率」は、

$$\mbox{赤玉が箱3から取り出された確率}\\
= \frac{\mbox{箱3において赤玉が取り出される確率} × \mbox{箱3が選ばれる確率}}{\mbox{赤玉が取り出された確率}}\\
= \frac{\frac{3}{3}\times\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}$$

 と求めることができました。今回は箱が選ばれる確率を「常識的に」「とりあえず」決めましたが、この仮定を許容することを「理由不十分の原則」と言います。

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 「ベイズ更新」とは?

 では、次に「ベイズ更新」について紹介します。こちらも例題から理解を深めていきましょう。

恋人があなたのことを「好き」「普通」「嫌い」のどの感情を抱いているかを、デートにおける印象から確率的に推定してみましょう。デートの印象を「良」「悪」の2つに分類すると、1回目は「良」で、2回目は「悪」でした。ただし、印象が「良」と「悪」になる割合は、「好き」のとき3:1、「普通」のとき2:2、「嫌い」のとき1:3とします。

 この例題もベイズの定理を使って解いていきます。まずは、1回目のデートの印象「良」が「あなたが好き」から生まれた確率は、

$$\mbox{デートの印象「良」が「あなたが好き」から生まれた確率}\\
= \frac{\mbox{「好き」のときに印象「良」が得られる確率} × \mbox{「あなたが好き」の確率}}{\mbox{印象「良」が得られた確率}}$$

 となります。ここで、「好き」「普通」「嫌い」の確率を次のように主観で決めましょう。

$$\mbox{好き:}0.6\\
\mbox{普通:}0.3\\
\mbox{嫌い:}0.1$$

 すると、印象「良」が得られた確率は、

$$\mbox{「好き」でかつ印象「良」が得られる確率}\\
+ \mbox{「普通」でかつ印象「良」が得られる確率}\\
+ \mbox{「嫌い」でかつ印象「良」が得られる確率}\\
= \mbox{「好き」のときに印象「良」が得られる確率} \times \mbox{「あなたが好き」の確率}\\
+ \mbox{「普通」のときに印象「良」が得られる確率} \times \mbox{「あなたが普通」の確率}\\
+ \mbox{「嫌い」のときに印象「良」が得られる確率} \times \mbox{「あなたが嫌い」の確率}\\
= \frac{3}{4} \times 0.6 + \frac{2}{4} \times 0.3 + \frac{1}{4} \times 0.1 = \frac{5}{8}
$$

 となります。その結果、デートの印象「良」が「あなたが好き」から生まれた確率は、

$$\mbox{デートの印象「良」が「あなたが好き」から生まれた確率}\\
= \frac{\mbox{「好き」のときに印象「良」が得られる確率} × \mbox{「あなたが好き」の確率}}{\mbox{印象「良」が得られた確率}}\\
= \frac{\frac{3}{4} \times 0.6}{\frac{5}{8}}=\frac{18}{25}=0.72$$

 同様に、デートの印象「良」が「普通」から生まれた確率と「嫌い」から生まれた確率は、

$$\mbox{デートの印象「良」が「あなたが普通」から生まれた確率}\\
= \frac{\mbox{「普通」のときに印象「良」が得られる確率} × \mbox{「あなたが普通」の確率}}{\mbox{印象「良」が得られた確率}}\\
= \frac{\frac{2}{4} \times 0.3}{\frac{5}{8}}=\frac{6}{25}=0.24$$

$$\mbox{デートの印象「良」が「あなたが嫌い」から生まれた確率}\\
= \frac{\mbox{「嫌い」のときに印象「良」が得られる確率} × \mbox{「あなたが嫌い」の確率}}{\mbox{印象「良」が得られた確率}}\\
= \frac{\frac{1}{4} \times 0.1}{\frac{5}{8}}=\frac{1}{25}=0.04$$

 と求めることができました。では、この結果を利用して、2回目のデートの印象「悪」が「好き」「普通」「嫌い」から生まれた確率を求めるわけですが…。

 このように、1回目のデータから算出した確率を利用して2回目の確率を求めることを「ベイズ更新」と言います。

 では、先ほどと同様に、2回目のデートの印象「悪」が「あなたが好き」から生まれた確率は、

$$\mbox{デートの印象「悪」が「あなたが好き」から生まれた確率}\\
= \frac{\mbox{「好き」のときに印象「悪」が得られる確率} × \mbox{「あなたが好き」の確率}}{\mbox{印象「悪」が得られた確率}}$$

 となり、印象「悪」が得られた確率は、

$$\mbox{「好き」でかつ印象「悪」が得られる確率}\\
+ \mbox{「普通」でかつ印象「悪」が得られる確率}\\
+ \mbox{「嫌い」でかつ印象「悪」が得られる確率}\\
= \mbox{「好き」のときに印象「悪」が得られる確率} \times \mbox{「あなたが好き」の確率}\\
+ \mbox{「普通」のときに印象「悪」が得られる確率} \times \mbox{「あなたが普通」の確率}\\
+ \mbox{「嫌い」のときに印象「悪」が得られる確率} \times \mbox{「あなたが嫌い」の確率}\\
= \frac{1}{4} \times 0.72 + \frac{2}{4} \times 0.24 + \frac{3}{4} \times 0.04 = 0.33
$$

 となります。その結果、デートの印象「悪」が「あなたが好き」から生まれた確率は、

$$\mbox{デートの印象「悪」が「あなたが好き」から生まれた確率}\\
= \frac{\mbox{「好き」のときに印象「悪」が得られる確率} × \mbox{「あなたが好き」の確率}}{\mbox{印象「悪」が得られた確率}}\\
= \frac{\frac{1}{4} \times 0.72}{0.33} \approx 0.55$$

 と求めることができました。つまり、55%の確率で好かれていることがわかりましたね。「普通」「嫌い」についても同様に計算してみてください。

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 最後に

 今回は、ベイズの定理を実際に応用するときに役立つ「理由不十分の原則」と「ベイズ更新」について紹介してきました。

 これまでよりも具体的な内容だったのでベイズの定理が身近に感じられたのではないでしょうか。

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